Ile jest w Posce wiernych katolików

Niedawno pokazały się wyniki spisu powszechnego dotyczącego m.in. wyznania religijnego.

Dlaczego to trwało tak długo nie wiem - i jeśli ktoś wie, to bym się z chęcią dowiedział. Ja sam wyobrażam sobie pracę z tymi wynikami jako polegającą w 99% na wprowadzeniu ich do systemu (przy czym znacząca część osób spisywała się przez internet, co powinno znacząco przyspieszyć ten proces). Gdy wszystkie dane są już w systemie, wszelkie opracowania powinniśmy właściwie mieć za „friko”, nawet używając najprostszych narzędzi. No ale jak mówiłem, nie wiem jak to rzeczywiście wygląda i z chęcią bym się dowiedział, bo temat interesuje mnie sam w sobie.

Bardzo mnie interesowały wyniki w tym temacie, ponieważ uważam wiarę, a zorganizowaną religię w szczególności za bardzo szkodliwe w niemalże każdym aspekcie życia(*). Dlatego cały czas żyję nadzieją na zmianę ku lepszemu - czyli na sekularyzację społeczeństwa, a docelowo nawet na laicyzację.

(*) - Istnieją pewne pozytywne skutki bycia wierzącym i należenia do wspólnoty wyznaniowej. Jednak nie powinny one przesłaniać ogromu szkód, jakie przynosi zarówno istnienie zorganizowanych kultów, jak i w mniejszym stopniu wiara w niesprawdzalne opowieści.

A wyniki były takie, że tylko 71,3% ludzi powiedziało, że należy do Kościoła Katolickiego. I oczywiście wszyscy się rozpisali, że religia w Polsce zanika (czy coś w tym stylu). Tylko że...

...20,5% odmówiło odpowiedzi na to pytanie. Nie powiedzieli, czy należą, czy nie należą - tym bardziej nie wspominali nic o wierze. A to znaczy, że odsetek z pewnością jest wyższy. Dokonując podstawowego ograniczenia można powiedzieć, że wiernych KRK jest w Polsce pomiędzy 71,3 a 91,8 procent.

Można by się pokusić o troszkę bardziej dokładne oszacowanie, przy założeniu że odsetek wiernych jest w grupie, która odpowiedziała taki sam, jak w grupie która nie odpowiedziała.

W pierwszej grupie jest to 89,8%. Jeśli wymnożymy to przez ilość osób, które nie odpowiedziały (20,5% - i tak, matematycznie jest to poprawne, gdyż procenty to po prostu ułamki), to otrzymamy 18,4%. Sumując z ilością osób w całej populacji, które odpowiedziały dostaniemy 71,3 + 18,4 = 89,7%. To nie jest liczba znacząco różniąca się od poprzednich spisów. Myślę, że jest ona raczej zawyżona, ale ile, tego nie wiem. W każdym bądź razie niepewność jest duża.

Tylko czy ma to znaczenie?

Są inne wskaźniki które mogą lepiej pokazywać religijność naszego społeczeństwa. Należeć to sobie można - ja sam nominalnie ciągle jestem katolikiem (w czasie spisu odpowiedziałem, że nie należę).

Jednymi z takich wskaźników są tzw. Dominicantes i Communicantes badane przez sam Kościół. Kiedyś nawet, jeszcze jako ministrant, brałem w nich udział. Zbieranie tych statystyk polegało po prostu na tym, że wysyłało się ministrantów do wyjść, aby zliczali ilość wiernych opuszczających kościół (podobnie przy przyjmowaniu komunii). Może teraz jest to sprawdzane inaczej, ale taka metoda nie jest zbyt dokładna, jak można sobie łatwo wyobrazić. Daje jednak ogólny pogląd na sytuację.

Communicantes nie zmieniało się znacząco w ostatnich latach, dlatego zostawimy go sobie w spokoju. Jednak jeśli zajrzymy do artykułu na Wikipedii, to zobaczymy że ilość Dominicantes (czyli praktykujących wiernych) zmalała z około połowy w latach 80-tych, do około jednej trzeciej w ostatniej dekadzie.

Dodatkowo dużo się słyszy o wypisywaniu się młodzieży z lekcji religii (jeśli dobrze pamiętam, bywają nawet klasy, gdzie nikt nie chodzi na religię). Nie przeszkadza to oczywiście naszemu kochanemu rządowi przeznaczać rekordowych sum pieniędzy na wsparcie tej upadłej instytucji.

Edit: Zapomniałem też wspomnieć oczywiście o lecącej w dół na łeb, na szyję liczbie powołań kapłańskich.

Edit 2: Jak usłyszałem niedawno, także coraz więcej par decyduje się tylko na śluby cywilne, przez co spada ilość sakramentów małżeństwa, a co za tym idzie - dochody księży.

Łącząc ze sobą wszystkie te przesłanki wniosek wyciągnąć można w miarę jednoznaczny: społeczeństwo polskie ulega sekularyzacji i ten trend będzie raczej trwał.

Trzeba mieć jednak na uwadze jedną rzecz: to, że ludzie zrywają swoje więzi z Kościołem nie oznacza że tracą wiarę. Taka sekularyzacja jest oczywiście krokiem w dobrą stronę, ale nadal pozostają oni w większości wierzący. Z resztą, czy to zrywanie więzów jest aż takie znów prawdziwe?

Znam osobiście takich ludzi, więc jestem w stanie sobie wyobrazić, że wielu z tych „nienależących”, niechodzących na msze i mających w głębokim poważaniu Kościół Katolicki dalej będzie chrzciło swoje dzieci i wysyłało je na religię, do kościoła, do sakramentów...

Wstęp o systemach liczenia

Jak wspomniałem poprzednio, chciałbym napisać o paru szczególnych systemach liczenia, które były używane przez ludzi, ale nie tylko. Zanim to jednak zrobię, chciałbym aby ewentualny czytelnik uświadomił sobie koniecznie pewną rzecz - myślę, że pozwoli to na szersze spojrzenie na to zagadnienie.

Obecnie używamy pozycyjnego systemu liczenia o podstawie 10. Jest to zaawansowany, uniwersalny system liczenia za pomocą którego możemy - teoretycznie przynajmniej - zapisać każdą liczbę rzeczywistą. Jednak nie doszliśmy do tego stanu od razu, ani z dnia na dzień. W naszej historii różne systemy liczenia, które używaliśmy miały przede wszystkim charakter użytkowy. System dziesiętny, którego używamy obecnie rozwijał się stopniowo, począwszy od zliczania małej ilości poszczególnych obiektów a skończywszy na abstrakcyjnych obliczeniach dowolnych wielkości.

Tak więc mamy nazwy wartości dla małych ilości (jak powiedzmy od zero do dziewięć, czy nawet do tuzina), mamy nazwy wielkości dla większych ilości, będących wielokrotnościami tych mniejszych (jak sto, tysiąc, kopa, gros itp) i różne ich kombinacje (jak pięć-naście czy pięć-dziesiąt dwa). Mówię o języku polskim, ale rzecz jasna dokładnie to samo można zauważyć w innych językach.

Ten pragmatyzm sprawił, że z jednej strony niektóre kultury wytworzyły inne niż dziesiętne systemy zliczania, a z drugiej strony wiele kultur używało jednocześnie kilku różnych systemów liczenia będących na różnych stopniach rozwoju. I znowu na przykładzie języka polskiego (i wielu innych indoeuropejskich języków) widzimy obecność systemu dziesiętnego (zero-dziewięć, dziesięć, sto...) ale też tuzinowego (tuzin, gross) czy nawet sześćdziesiątkowego (kopa) czy dwudziestkowego (nasze polskie -nastki).

W kulturach istniejących w mezopotamii równolegle działały systemy sześćdziesiątkowy i (jak mi się wydaje) dziesiętny (wnioskuję to po konstrukcji zapisu cyfr sześćdziesiątkowych). W innych kulturach można było spotkać systemy takie jak piątkowy, szóstkowy czy piętnastkowy (a nawet inne).

Mówię o tym, ponieważ różnorodność sposobów liczenia jest bardzo duża - począwszy od używanej podstawy a skończywszy na sposobach zapisu różnych wartości. I tak jak napisałem na początku, myślę że takie szersze spojrzenie na to zagadnienie pozwala nie tylko na bardziej dogłębne zrozumienie pojedynczych przypadków, ale też na lepsze poznanie tego, w jaki sposób rozwijały się różne kultury, w tym sposób myślenia naszych przodków nie tylko na temat liczb, ale też na wiele innych zagadnień.

Na koniec zachęcam do obejrzenia tego filmiku na YouTube (polecam kanał zarówno Numberfile, ale też Toma Scotta):

Systemy liczenia z wewnętrznym podziałem

Zamierzam napisać parę artykułów o paru szczególnych systemach liczenia, jednak najpierw chciałbym podzielić się pewną obserwacją, którą dokonałem poznając sposób zapisu cyfr takich systemów.

Nie wiem, czy nazwa zamieszczona w tytule jest trafna - chodzi o to, że w niektórych systemach liczenia zapisuje się cyfry dzieląc podstawę na dwie części, które z kolei same tworzą nowe podstawy do zliczania pod-cyfr.

Jestem prawie pewien, że ten opis niewiele mówi, dlatego przejdę do konkretnych przykładów z obrazkami.

System sześćdziesiątkowy

Używany w starożytnej Babilonii oraz częściowo w innych częściach świata, obecnie zachował się w zasadzie tylko w zliczaniu sekund i minut. Konstrukcja cyfr w tym systemie wyglądała w taki sposób, że zliczało się się po prostu jedności, a gdy dochodziło się do 10 zapisywano to osobnym symbolem, po czym dalej zliczało się jedności (aż do 20 itd). Przykładowa cyfra o wartości dziesiętnej 37 wygląda następująco:

Co jest po prostu zapisem symbolu 30 i 7. Dlatego przy omawianiu systemu liczenia babilończyków stosuje się czasem taki „dziesiętny” zapis: 37.

Przykład dłuższej liczby:

3, 25, 40 w tym systemie to 3 * 60² + 25 * 60 + 40 = 12340 w systemie dziesiętnym.

Dla pewnego odróżnienia od ewentualnych innych systemów o podobnej strukturze można takie liczby zapisywać z resztą jak czas:

3:25:40

Podobnie można skonstruować dla celów obrazowych system setkowy. Różnica będzie jedynie taka, że w systemie sexagesimalnym mamy tylko 60 cyfr od 0 do 59, w systemie setkowym wykorzystujemy natomiast pełen zakres cyfr dziesiętnych, od 00 do 99. Inna oczywista różnica to różne podstawy (tam 60 a tu 100). Zapis będzie podobny ale istotny będzie tutaj fakt, że konwersja do systemu dziesiętnego będzie zwykłym przepisaniem cyfr:

01,23,45 w systemie setkowym to po prostu 12345 w systemie dziesiętnym.

System dwudziestkowy

System ten używany był m.in. przez Majów oraz ludność Iñupiat zamieszkującą Alaskę, aczkolwiek pewne jego szczątkowe ślady można znaleźć w językach indoeuropejskich (jak choćby w polskich „nastkach”, aczkowiek tu podział przebiega inaczej niż to opisano niżej).

W obydwu przypadkach, podobnie jak w systemie sześćdziesiątkowym, podstawa 20 podzielona jest na 4 grupy po 5 jedności. Przy czym odmiennie od Babilończyków, obydwa te ludy zapisywały grupy 5-tek pionowo obok grup jedności, na dole w przypadku Majów i u góry w przypadku Iñupiatów. Przykładowy zapis liczby 17 cyframi Majów wygląda tak:

Kropki oznaczają jedności, kreski zaś oznaczają grupy piątek. Można więc, podobnie jak w systemie babilońskim, zapisać taki symbol cyframi dziesiętnymi jako 32 z taką jednak ważną różnicą, że będzie to liczba w systemie piątkowym! Czyli poprawny matematycznie zapis to 32₅ = 3 * 5 + 2 = 17.

System dziesiątkowy

W zasadzie to jedyne dwa przykłady które znam, gdzie taki podział jest naturalny. Ktoś mógłby tu słusznie zauważyć, że metoda ta jest całkiem dobrym pomysłem, biorąc pod uwagę że dla systemów o tak dużych podstawach wymyślenie, zapamiętanie i używanie odrębnych symboli dla każdej cyfry byłoby mocno kłopotliwe. I tu się zgadzam, chociaż w przypadku systemu 20-kowego to chyba nie byłby aż taki duży problem.

Ale zauważyłem pewną bardzo ciekawą rzecz. Otóż w systemie dziesiętnym również można zauważyć taki podział.

W cyfrach arabskich tego nie widać, ale w liczbach rzymskich już tak!

Liczby od 1 do 3 (a czasem też 4) zaznaczamy jednościami 'I', piątka natomiast ma już nowy symbol 'V' i kolejne liczby są zapisywane jako 5+liczba od 1 do 3. To nie jest może aż takie wyraźne, ponieważ raz: z powodu wyjątków liczby 4 i liczby 9, a dwa: ponieważ są to liczby a nie cyfry i liczby od 10 wzwyż mają znowu nowe symbole (i podobnie od 100 i od 1000 wzwyż). Aczkolwiek schemat się powtarza (np. 20 to XX a 50 ma już symbol L itd).

  Symulacja regularnych liczb rzymskich:
  
      I,  II,  III,  IIII
  V, VI, VII, VIII, VIIII
      X,  XX,  XXX,  XXXX
  L, LX, LXX, LXXX, LXXXX
      C,  CC,  CCC,  CCCC
  D, DC, DCC, DCCC, DCCCC

Skojarzyłem też od razu, że często zliczając coś w systemie dziesiętnym, grupuję dane rzeczy w piątki. Jest to dosyć naturalne, gdyż 2 i 5 to jedyne nietrywialne dzielniki 10-ki.

Innego rodzaju podział w systemie dziesiątkowym można zauważyć niejako w drugą stronę. Jeśli spojrzymy na zapis jakiejś liczby z dużą ilością cyfr to zauważymy, że często są one pogrupowane trójkami. Odwołując się do analogii z systemem setkowym (patrz wyżej) można by powiedzieć, że używamy w zasadzie pewnego rodzaju systemu tysiącowego:

1 milion to 1'000'000, czyli 1 * 1000² + 0 * 1000 + 0
wiek układu słonecznego to 4'567'000'000 czyli 4*1000³ + 567*1000² + 0*1000 + 0

I tak, jak kolejne pozycje w systemie dziesiętnym nazywamy jeden, dziesięć, sto... tak w systemie tysięcznym byłyby to: jeden, tysiąc, milion, miliard...

Systemy dwójkowe

Zasadniczo każdy system, którego podstawa jest potęgą dwójki można sprowadzić do systemu binarnego. Zapisywanie cyfr w takim systemie jest czymś w rodzaju kompresji binarnego zapisu. W systemie szesnastkowym każda z czterech cyfr binarnych jest zapisywana jako jedna cyfra, przy czym gdy zaczyna brakować cyfr dziesiętnych, używa się początkowych liter alfabetu (0...9, A, B ... F).

W informatyce najmniejszą jednostką pamięci jest bajt, który posiada 8 bitów. Można taki system operowania na danych binarnych potraktować jako system liczenia o podstawie 256. Nie można jednak reprezentować takich „liczb” pojedynczymi cyframi - szybko zabrakłoby nam symboli. Stosuje się więc taki podwójny zapis, podobnie jak w systemie „setkowym”: pierwsza cyfra to ilość 16-tek, a druga ilość jedności. Na przykładzie:

1101₂ = D₁₆ = 13
0111₂ = 7₁₆ = 7

1101 0111₂ = D7₁₆ = 13 * 16 + 7 = 215

I to w zasadzie tylko ta jedna ciekawostka, którą chciałem się podzielić, przedstawiona na kilku konkretnych przykładach. Inspiracją do napisania tego artykułu było kilka filmików zamieszczonych w internecie, ale postanowiłem że nie będę ich tu wymieniał: wszystkie źródła inspiracji wymienię pod odpowiednimi artykułami dla poszczególnych systemów.

* * *

Obrazki zostały wykonane przeze mnie w GIMPie. Do ich wykonania wykorzystałem grafiki pobrane z Wikipedii:

Dla liczb babilońskich autorem jest Régis Lachaume, grafiki są w domenie publicznej.

Linki do grafik:

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Babylonian_1.svg - wykorzystana do stworzenia własnych cyfr od 0 do 9 (te cyfry autora nie podobały mi się).

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Babylonian_10.svg i td. aż do 50 - wykorzystane bezpośrednio.

Dla liczb Majów autorami są:

Original: Neuromancer2K4 Vector: Bryan Derksen

Grafika rozpowszechniana jest na licencji Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

Link do grafiki: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Maya.svg

Mnożenie pisemne

Uwaga! To nie jest tutorial, jak mnożyć pisemnie. Zakładam, że czytelnik wie mniej więcej, jak to się robi, albo chociaż miał z tym styczność. W przeciwnym wypadku odsyłam do internetu .

W szkole podstawowej uczono nas pewnej metody mnożenia pisemnego. W skrócie wygląda ona tak:

Przy okazji oglądania filmiku o kostkach Napiera (Napier's bones) dowiedziałem się o innej ciekawej metodzie pisemnego mnożenia, bardzo intuicyjnej i nie wiem, czy bodajże nie łatwiejszej.

Metoda ta po angielsku nazywa się Lattice multiplication, co na polsku można przełożyć jako mnożenie w siatce (ale nie w kratce, ponieważ to kojarzy się z zeszytem w kratkę który jest wykorzystywany w nauce matematyki). Wygląda ona mniej więcej tak:

Obydwie liczby wpisujemy po bokach prostokątu. Jedną z cyfr u góry, zgodnie z kierunkiem pisania a drugą po prawej stronie z góry w dół. Każdą kratkę dzielimy przekątną jak na obrazku i wpisujemy wynik mnożenia cyfr z kolumny i wiersza przecinającego się w danej kratce. Przy czym rozdzielamy dziesiątki i jedności po obu stronach przekątnej (jak na obrazku). Następnie sumujemy wzdłuż przekątnych (czerwone zakreślenie) - uwzględniając przeniesienia! Wynikiem będzie liczba odczytana wzdłuż zielonej strzałki.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to bardzo egzotyczna metoda, nie mająca nic wspólnego ze standardowym sposobem mnożenia - zupełnie inny algorytm.

Weźmy jednak ten standardowy sposób i zamiast od razu sumować wyniki mnożenia wszystkich cyfr mnożnej przez daną cyfrę mnożnika wpiszmy po prostu osobno wyniki mnożenia poszczególnych cyfr mnożnej i mnożnika (pamiętając o tym, żeby umieścić je w odpowiednich pozycjach):

Jeśli przyjrzymy się teraz uważnie, to zauważymy, że znajdują się tu te same liczby, które znajdziemy w metodzie w siatce. Nawet przeniesienia są identyczne. Dodajemy wszystkie cyfry na danej pozycji tak samo, jak w metodzie w siatce, różna jest tylko kolejność.

Wygląda więc na to, że tam metoda to po prostu trochę inaczej zapisana metoda standardowa mnożenia pisemnego .

Wszystkie obrazki zostały wykonane przeze mnie, za pomocą programu OpenOffice i obrobione przy pomocy Gimpa.

Dzielenie pisemne

Uwaga! To nie jest tutorial, jak dzielić pisemnie. Zakładam, że czytelnik wie mniej więcej, jak to się robi, albo chociaż miał z tym styczność. W przeciwnym wypadku odsyłam do internetu .

Dzielenie pisemne, albo z angielskiego długie („long division”) to metoda, której uczyliśmy się w podstawówce. Jest to bardzo prosta metoda, ale wymagająca nieco uwagi. Chodzi o to, że używamy systemu pozycyjnego i w takiej metodzie, podobnie jak przy wszystkich innych działaniach, ważna jest pozycja danej cyfry. Wygląda to mniej więcej tak:

W taki sposób uczyłem się tego ja, podejrzewam też, że większość innych uczniów i uczennic. Jakiś czas temu jednak oglądałem na kanale Stand-up Maths obliczanie liczby pi ręcznie, bez użycia kalkulatorów i zauważyłem, że Anglicy robią to trochę inaczej. Wygląda to mniej więcej tak:

Różnica, jak łatwo zauważyć jest niewielka. W polskiej wersji dzielnik jest po dzielnej, jak w zwykłym zapisie działania, w angielskiej zaś przed - po lewej stronie. Różnica jak powiedziałem niewielka, ale w dwóch przypadkach, gdy dzielenie jest naprawdę długie, taki zapis ujawnia pewną znaczącą zaletę.

Pierwszy przypadek, to gdy na dole kartki kończy nam się miejsce. Wynik odejmowania możemy wtedy przenieść swobodnie na górę, pamiętając o zachowaniu pozycji. Drugi przypadek zachodzi, gdy dzielna jest naprawdę długa. Obydwa te przypadki połączyłem na następnym przykładzie:

Przy okazji dopisałem sobie z boku wielokrotności dzielnika - to taki mały, przydatny trick ułatwiający całą operację .

Oczywiście tego typu sytuacje nie zdarzą nam się często: kto teraz dzieli jeszcze ręcznie? Ale zawsze warto wiedzieć .

Na koniec mała ciekawostka. Może nie każdy wie, a może jest to coś oczywistego - ja w szkole się tego nie uczyłem i odkryłem to sam, niezależnie.

Otóż tę metodę można wykorzystać do dzielenia wielomianów:

Dzielimy wtedy najwyższe potęgi (podkreślone na czerwono), po czym mnożymy wynik przez dzielnik (podkreślone na zielono).

Wszystkie obrazki zostały wykonane przeze mnie, za pomocą programu OpenOffice i obrobione przy pomocy Gimpa.

Jak bardzo skuteczne są szczepionki w praktyce

Uwaga! Popełniłem dosyć poważny błąd w rozumowaniu: nie tylko chorzy niezaszczepieni nabierają odporności - ci, którzy przechorowali przecież też! Z początku chciałem zostawić artykuł, z dopiskiem jaki błąd popełniłem i co z tego wynika - żeby inni mogli uczyć się na moim błędzie. Ostatecznie jednak zdecydowałem się zdjąć cały artykuł - i tak był on dosyć zagmatwanie napisany, a jako że nie napisałem jeszcze kolejnego artykułu, to postanowiłem całkowicie zmienić koncepcję tego małego cyklu artykułów, który planowałem napisać.

Energia zużyta przez jadący samochód

Dawno już nie bawiłem się matematyką, ale dzisiaj mi się udało

Od kilku dni zastanawiałem się, jakie są opory ruchu jadącego samochodu. Po dokonaniu dwóch prostych pomiarów wystarczyło skorzystać z bardzo prostego wzoru, aby otrzymać siłę oporu ruchu.

Trochę statystyki i biegania, cd.

Na początek mała uwaga. Nie znam się na statystyce ani nie rozumiem zbytnio narzędzi matematycznych, których się przy tym używa. Zawartość tego posta stanowi tylko i wyłącznie rezultat i sprawozdanie z zabawy (naprawdę!) danymi, którą sobie zafundowałem, więc proszę nie traktować tego jako żadnego rodzaju poradnika, pomocy naukowej do szkoły, ani tym bardziej jako opracowania naukowego!

Jak już wspomniałem, lubię biegać i lubię matematykę. W poprzednim artykule na ten temat zestawiłem wyniki biegaczy z pewnego biegu i otrzymałem ciekawą krzywą. Ale krzywa ta była „mało doskonała”

Rozkład dwumianowy a rozkład Poissona

Każdy z nas miał na pewno w szkole rozkład dwumianowy. Ktoś może tego nie pamiętać, ale na pewno zapamiętał próby Bernouliego (z ew. rysowaniem drzewek wyboru). To jest dokładnie to samo.

Rozkład taki powstaje, gdy zadamy sobie następujące pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo tego, że zdarzenie o prawdopodobieństwie p wydarzy się dokładnie k razy w ciągu n prób.

Przykładem może być rzut kostką do gry: prawdopodobieństwo wyrzucenia 6 (lub dowolnej innej ścianki) jest równe ¹/₆. Żeby wyrzucić „generała” musimy wyrzucić 5 jednakowych oczek. Możemy zrównać ze sobą rzut jednocześnie 5 kostkami z 5-krotnym rzutem jedną kostką (z zapamiętywaniem wyników), gdyż i tu i tu rezultaty są od siebie niezależne.

Interesuje nas teraz, jakie jest wyrzucenie owego generała. Innymi słowy mówiąc: jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia o p=¹/₆ pięć razy pod rząd w ciągu 5 rzutów?

Trochę statystyki i biegania

Interesuję się m.in. matematyką (co jest raczej oczywiste dla moich nielicznych czytelników ), ale także bieganiem (co już takie oczywiste nie jest). Jestem aktywnym biegaczem i czasem startuję w różnych zawodach.

Ostatnio zastanawiałem się, jaki rozkład będą miały wyniki zawodników w jakimś większym biegu. Postanowiłem sprawdzić to na przykładzie pewnych zawodów – jakich, nie zdradzę, ponieważ ludzie zachowują się czasem jak idioci roszcząc sobie prawa własności do powszechnie dostępnych danych. A ja chcę uniknąć grożenia mi pozwami z takich absurdalnych powodów i konieczności wycofania mojej pracy z sieci.(*)

(*) - Jest to aluzja do autentycznego wydarzenia, które miało miejsce nie tak dawno temu. Pewien gościu, którego nazwiska niestety już nie pamiętam, więc nie jestem w stanie nawet wyszukać tej sprawy w googlach, zbadał i przetworzył powszechnie dostępne dane z facebooka i zaprezentował swoją pracę publicznie. Jego wysiłki okazały się bardzo wartościowe pod względem poznawczym. Niestety prawnicy facebooka w barbarzyński sposób zażądali, aby te dane zostały usunięte i skasowane, ponieważ „należały one do facebooka”. Gdybym był diabłem, trzymałbym dla takich ludzi specjalne miejsce w piekle .

Ale do rzeczy. Zestawiłem sobie te wyniki w arkuszu i otrzymałem następujący wykres:

Na osi poziomej są czasy, na pionowej ilości zawodników. Zostały one usunięte, żeby utrudnić ew. dupkom jakiekolwiek roszczenia . Niebieska linia przedstawia rzeczywiste ilości zawodników z danym czasem, czerwona zaś wyidealizowany rozkład, będący w rzeczywistości rozkładem Poissona.

Dlaczego taki rozkład, a nie inny – nie pytajcie. Ja jestem tylko technikiem informatykiem, który metodą prób i błędów potrafi znaleźć właściwy wzór .

Właściwie to wszystko, co miałem do powiedzenia – chciałem tylko przedstawić pewną ciekawostkę oraz pokazać, że bardzo prosta matematyka może mieć zastosowanie w bardzo zwykłych życiowych wydarzeniach .

Powiem jeszcze na koniec tylko, że zastanawia mnie zauważalny brak osób o przeciętnych czasach przy jednoczesnej nadreprezentacji osób o tych gorszych wynikach. Być może to przypadek? Będę zbierał dalej dane – może przy większej ich ilości wykres się wygładzi.

Dzień Pi

Kiedyś już o tym pisałem, więc dzisiaj ograniczę się tylko do krótkiej wzmianki.

Wzmiankę tę zaś postanowiłem zrobić, ponieważ w tym roku święto Pi jest szczególne. Jak niektórym zapewne (na ich nieszczęście) wiadomo, w USA (i co poniektórych innych zakątkach świata) zapisuje się datę w taki idiotyczny sposób:

Miesiąc, dzień, rok

Totalny idiotyzm - wyobrażacie sobie na przykład, aby zapisać w podobny sposób czas? Jak to jednak z idiotyzmami bywa, ten się przyjął (na szczęście poza tą cywilizowaną częścią świata) i teraz trudno go wykorzenić (podobnie jest z niemetrycznym systemem). No cóż – nie nasz problem

Ale ma on, co przyznaję dosyć opornie , jedną zaletę - dzisiejsza data zapisana w ten sposób wygląda jak dziesiętny zapis liczby pi:

3/14

Dlatego dzisiejszy dzień przyjęło się nazywać świętem liczby pi

Szczególność zaś tegorocznego święta polega na tym, że mamy 2015 rok, w skrócie – 15, co daje dłuższy zapis dzisiejszej daty (z rokiem):

3/14/15

Prawda, jakie fajne? Dodajmy do tego jeszcze czas (zapisywany już normalnie, na szczęście) i mamy super wspaniały moment raz na sto lat!

3/14/15 9:26:53

Szkoda, że trwał zaledwie sekundę

No nic, życzyłbym wszystkim miłego święta pi i smacznych ciastek (pie ), ale tak po prawdzie to już po święcie

Sfery w przestrzeni

Na święta (a właściwie po) zaszalałem trochę i kupiłem sobie dwie książki popularnonaukowe. Jedna z nich szczególnie mnie zainteresowała. Nigdy o niej wcześniej nie słyszałem, ale sądząc po tytule i opisie książka zapowiadała się wręcz fantastycznie - łączyła w sobie wiedzę na temat starożytnej astronomii i mitologii - dwa tematy, które bardzo mnie interesują.

Mówię o książce „Sfery w przestrzeni, czyli tajemnice starożytnej astronomii”, Mari Magdaleny Kosowskiej i Aleksandra Kosowskiego.

Wiele sobie obiecywałem po tej książce, tym większe było więc niestety moje rozczarowanie. Co prawda książki jeszcze nie przeczytałem do końca - co niech świadczy o tym, jak mało wciągająca jest ona dla mnie(*). Nie jestem z resztą pewien, czy będę chciał ją kończyć - po przeczytaniu z mozołem części poświęconej ogólnemu omówieniu starożytnej astronomii i związanych z nią wierzeń doszedłem do części poświęconej matematycznym zależnościom. Miałem nadzieję, że chociaż tu będzie dobrze, jednak znowu się pomyliłem. Pomimo iż książki nie skończyłem sądzę, że to, co przeczytałem wystarcza, aby wyrobić sobie w miarę rzetelną opinię o tej publikacji.

Grawitacja walca

Ostatnio trochę mi się nudziło, a nowe artykuły jakoś nie chciały mi się napisać, więc zastanawiałem się troszkę nad grawitacją nieskończonego walca. Dlaczego nieskończonego? W zasadzie sam nie wiem, ale pewnego rodzaju wyidealizowanie problemu może czasem znacząco go uprościć. Jednak jak sądzę rozwiązanie, które otrzymałem, można zastosować również do zwykłych walców.

Value Noise

Spis treści

• Losowanie wartości
  • Tablice permutacji
• Interpolacja
  • Interpolacja liniowa
  • Interpolacja cosinusami
  • Interpolacja wielomianami
  • Interpolacja sześcienna
  • Interpolacja w wielu wymiarach
• Sumowanie szumu

Value Noise(*) to najprostszy rodzaj szumu(**), który można wykorzystać jako podstawę do generowania różnego rodzaju zjawisk/obiektów (krajobrazy, tekstury, chmury, maski obrazów itp).

(*) - Nie znalazłem polskiego terminu, a nie wiem, jak to przetłumaczyć, żeby jakoś porządnie brzmiało (szum wartości? - nie za bardzo).

(**) - Chodzi o szum gładki - tj. taki, w którym wartości pomiędzy kolejnymi punktami zmieniają się w sposób ciągły.

Najprościej mówiąc - generowanie Value Noise polega na przypisaniu pewnym punktom w przestrzeni losowych wartości, a następnie na interpolacji tych wartości dla punktów znajdujących się pomiędzy nimi.

Ilustracja generowania Value Noise. Punkty rozmieszczone w regularnych odstępach x o losowych wartościach y. Wartości punktów pomiędzy nimi są obliczane za pomocą interpolacji.

Prawo Little'a

Prawo Little'a to bardzo proste, a zarazem niezwykle przydatne prawo. W swoim podstawowym sformułowaniu ma zastosowanie w kolejkach, ale przy odrobinie wyobraźni można je wykorzystać w wielu innych sytuacjach.

Prawo to mówi, że (uśredniając) liczba L osób w kolejce jest równa iloczynowi szybkości przybywania osób λ oraz czasu W, jaki każda osoba spędza w kolejce:

L = λ W

Nic skomplikowanego i bardzo intuicyjne. Można by wręcz powiedzieć - oczywiste .

Prawo to można wykorzystać do obliczenia przykładowo, ile osób w ciągu sekundy umiera na całym świecie(*). L = 7 miliardów, W = 67,2 lat (średnia ludzka długość życia, źródło: Wikipedia), czyli około 2,12 miliarda sekund. Stąd otrzymujemy λ = 3,3 człowieka na sekundę (jest to ilość śmierci, równa w przybliżeniu ilości urodzeń na sekundę). Odwracając, otrzymujemy, że co 1/3 sekundy rodzi się / umiera człowiek. Trochę smutne.

Dla takiej średniej polskiej wsi (powiedzmy 500 ludzi), przy średniej długości żywocie polaka równym około 75 lat (emeryturka do 70 i 5 lat wolnego przed śmiercią ) otrzymujemy śmierć / narodziny jednego człowieka raz na 55 dni (średnio i w przybliżeniu).

Prawo to można oczywiście zastosować nie tylko do ludzi. Przydaje się ono wszędzie tam, gdzie jest jakiś rodzaj kolejki, jakiś przepływ, niekoniecznie dyskretnych elementów - wody w rzekach, produktów na linii montażowej, procesów itp.

Prawo to ma rzecz jasna swoje ograniczenia. W szczególności prawo to zawodzi, jeśli tempo wejściowe jest różne od tempa wyjściowego. Ale nawet wtedy można je stosować, aby oszacować przynajmniej rzędy wielkości związane z danym procesem. Z tego powodu (oraz dlatego, że jest ono bardzo proste i łatwe do zrozumienia) nadaje się doskonale do tzw. „obliczeń na odwrocie koperty” i do zdroworozsądkowego sprawdzania różnych faktów.

(*) - Wspomniałem o tym w swoim artykule o Prawie naprawdę wielkich liczb.

Pi

Dzisiaj jest 14 marca. Jeśli zapisać tę datę w odpowiedni sposób, dostaniemy 3.14 - czyli przybliżenie liczby pi. Dlatego niektórzy ludzie obchodzą dziś święto tej bardzo ważnej skądinąd oraz ciekawej liczby. Jako że symbol π wymawia się po angielsku paj (pie - ciasto), na święto liczby pi piecze się okrągłe ciasta .

Pi, nazywana również na cześć Ludolpha van Ceulena ludolfiną, jest zdefiniowana jako długość obwodu koła do długości jego średnicy (w geometrii euklidesowej). Oznacza się ją grecką literą π od słowa περίμετρον – perimetron, czyli obwód.

Liczba ta ma niesamowitą ilość zastosowań, dlatego nawet nie będę ich tu wyliczał. Występuje w matematyce i fizyce dosłownie wszędzie, czasem w najmniej spodziewanych miejscach (np. przy rzucaniu zapałkami, czy nawet w równaniu opisującym zasadę nieoznaczoności Heisenberga: $\Delta x\Delta p_x=\frac{h}{4\pi }$ )

Liczba π jest liczbą rzeczywistą. Nie jest wymierna i w dodatku jest liczbą przestępną (dlatego nie można zrobić kwadratury koła). Oznacza to, że nie można jej ani łatwo zapisać, ani obliczyć.

Można ją jednak przybliżać na różne sposoby liczbami wymiernymi - w dosyć prosty sposób i z dosyć dużą dokładnością. Starożytni babilończycy przybliżali ją jako 3¹/₈(*). O wiele lepsze przybliżenie daje 3¹/₇ (błąd jest mniejszy od ¹/₂₀ procenta). Jeszcze lepsze przybliżenie daje łatwa do zapamiętania liczba 113355(**) - trzeba ją tylko podzielić na dwie części (jako napis) i większą część zapisać w liczniku, a mniejszą w mianowniku:

113355 -> 113 | 355 -> ³⁵⁵/₁₁₃

Błąd jest tak mały (10^-7), że nie liczy się go nawet w procentach - i to przybliżenie całkowicie wystarcza do jakichkolwiek praktycznych obliczeń (tak po prawdzie wystarcza nawet 3¹/₇).

Mikołaj Kopernik

Mikołaj Kopernik (1473 - 1543)

Autor: nieznany (public domain).
Źródło: Wikipedia.

19 lutego 1473r. w Toruniu urodził się jeden z najsławniejszych naukowców i ogólnie ludzi, Mikołaj Kopernik. Dzisiaj obchodzimy 540-tą rocznicę tego wydarzenia.

Nie zamierzam się dużo o nim rozpisywać - w internecie można znaleźć dosyć wyczerpujących materiałów. Chciałbym tylko wspomnieć z okazji jego urodzin o jego najbardziej znanych osiągnięciach i o tym, co mi się z nim najbardziej kojarzy.

Przede wszystkim Kopernik jest znany ze swojego dzieła pod tytułem „De revolutionibus orbium coelestium” czyli o obrotach sfer niebieskich. W książce tej zawarł wykład na temat heliocentryzmu.

Jak na tamte czasy był to wielki przewrót światopoglądowy i książka ta z miejsca uznana została za herezję . Najpierw próbowano zmieniać jej wymowę(*) i pomniejszać jej znaczenie, aby wpisać ją później (1616r.) do Indeksu ksiąg zakazanych. „O obrotach...” zostało usunięte z Indeksu dopiero w 1835r.

(*) - Że to „tylko teoria” służąca do wygodnego opisu matematycznego ruchu planet (oprócz Ziemi). Gdzieś już coś takiego słyszałem...

Grawitacja Ziemi

W poprzednim artykule liczyłem grawitację jednolitej kuli i sfery. A co jeśli dany obiekt nie jest jednolity? Jeśli składa się z różnych materiałów o różnej gęstości?

Przykładem takiego obiektu jest Ziemia, która składa się z warstw o różnym składzie chemicznym i o różnej gęstości - co więcej, gęstość każdej warstwy zmienia się w zależności od głębokości.

Warstwa	grubość (km)	promień zewnętrzny	gęstość (g/cm3)
			dolna	górna
Skorupa	30	6370	2,9	2,2
Płaszcz górny	690	6340	4,4	3,4
Płaszcz dolny	2170	5650	5,6	4,4
Jądro zewnętrzne	2260	3480	12,2	9,9
Jądro wewnętrzne	1220	1220	13,1	12,8

Struktura Ziemi. Źródło: The interior of the Earth by Eugene C. Robertson.

Zmniejszyłem grubość płaszcza górnego, ponieważ suma przekraczała średnicę Ziemi, poza tym grubość płaszcza górnego znacząco odbiegała od wartości znalezionych na Wikipedii. Pozwoliłem też sobie zaokrąglić nieco podane wartości. Nie powinno mieć to jednak większego znaczenia dla potrzeb tego artykułu.

Zanim odpowiem na to pytanie, przytoczę parę wniosków z poprzedniego artykułu:

1. Grawitację na zewnątrz kuli / sfery możemy liczyć tak jakbyśmy liczyli grawitację punktu materialnego.
2. Grawitacja wewnątrz kuli w odległości od środka równej r może być liczona jako grawitacja na powierzchni wewnętrznej części kuli o promieniu r - gdyż warstwy nad tym punktem tworzą sferę, w związku z czym nie wnoszą nic do wynikowej grawitacji.

Czyli aby obliczyć grawitację wewnątrz Ziemi w punkcie r, musimy wiedzieć ile wynosi masa wyciętej z Ziemi kuli o promieniu r.

Grawitacja kuli i sfery

Jak obliczyć grawitację punktu materialnego wie chyba każdy - nawet jeśli nie pamięta szczegółów, to wie że jest jakiś tam prosty wzór:

$F_g=G\frac{Mm}{r^2}$

Trochę gorzej już z grawitacją kuli. Nie wiem, jak jest teraz, ale gdy ja chodziłem do szkoły nie uczono nas o tym, że grawitacja wewnątrz jednolitej kuli spada liniowo do zera(*) w środku kuli (to że w samym środku powinno być zero, można było się domyślić samemu).

$a_g\propto mr$

Na zewnątrz kuli grawitacja spada zgodnie z klasycznym wzorem Newtona.

(*) - Przeczytałem o tym kiedyś w jakimś zestawie ćwiczeń - nie pierwszy taki przypadek, kiedy dowiedziałem się czegoś interesującego i względnie ważnego nie z podręczników, które są chyba z roku na rok coraz bardziej okrajane, tylko skądś indziej. Postanowiłem więc napisać program symulujący grawitację kuli. Wyniki które otrzymałem potwierdzały to, co przeczytałem.

Liniowy spadek grawitacji wewnątrz kuli wynika z ogólnych praw grawitacji i udowodnienie tego wykracza poza moje umiejętności. Dlatego po prostu zakładam, że skoro inni to udowodnili, tak jest faktycznie i bazując na tym fakcie chcę tylko wyprowadzić o własnych siłach wzór na grawitację wewnątrz sfery. Można by też pójść w drugą stronę, ale nie ma to dla potrzeb tego artykułu żadnego znaczenia.

Dokładny wzór (na stałą) można wyprowadzić sobie samemu zauważając, że wartość siły musi zmieniać się płynnie (nie może być przeskoków) - więc wartość siły z jednego wzoru i drugiego w punkcie r=R (promienia kuli) musi być identyczna:

$a=G\frac{m}{R^2}=CmR$

gdzie C - niewiadoma stała. To daje nam

$C=\frac{G}{R^3}$

czyli grawitacja wewnątrz kuli jest równa

$a=G\frac{mr}{R^3}$

gdzie R - promień danej kuli.

Generator liczb losowych: rozkład dyskretny

Spis treści

• Podejście naiwne
• Opis metody
  • Budowa tablicy
  • Losowanie
• Implementacja
  • Wersja zmiennoprzecinkowa
  • Wersja całkowitoliczbowa
  • Wersja bez listy Small i Large
• Końcowe uwagi

Jeśli ktoś grał przykładowo w Diablo (lub inne gry), to być może spotkał się z tabelkami opisującymi z jakim prawdopodobieństwem wypadnie dany przedmiot. Ja sam bawiłem się kiedyś pisaniem gierek (nawet napisałem taką jedną gierkę RPG (totalnie biedna) - ale to inna historia) i spotkałem się z tym właśnie problemem - w jaki sposób skutecznie losować jakąś liczbę(*) z zadanym prawdopodobieństwem?

(*) - Wszystko w informatyce można sprowadzić do liczb. W tym przypadku - indeks w tablicy z przedmiotami.

Podejście naiwne jest takie, żeby wypisać w tabeli względne częstości każdej rzeczy, następnie wylosować jakąś liczbę (z zakresu od 0 do suma_częstości-1) i odejmować każde z tych prawdopodobieństw aż liczba zrobi się mniejsza od 0. Wtedy dana rzecz zostaje wylosowana.

Można tę metodę zaimplementować niejako w drugą stronę: tabelę z częstościami przekształcić w taki sposób, aby dla każdej rzeczy zsumować jej częstość z częstościami wszystkich poprzednich rzeczy. Następnie wylosować jakąś liczbę i porównywać po kolei z sumowanymi częstościami - jeśli liczba zrobi się większa lub równa danej sumie, losujemy poprzednią rzecz.

Podejście naiwne

[spis treści]

int n; //dana ilość rzeczy
int prob[n]; //dana tablica ze względnymi częstościami
int losuj[n]; //tworzona tablica z sumowanymi częstościami

//inicjacja tablicy losującej
void inicjuj()
{
  int i;
  
  for(i=1; i<n; ++i) losuj[i]=prob[i-1]+prob[i];
}

//funkcja losująca
int losuj_pozycje()
{
  int i, p;
  
  p=random(losuj[n-1]);
  for(i=0; losuj[i]<p; ++i);
  return i;
}

Podejście naiwne jest bardzo łatwe do zrealizowania, ale jest też wolne - ma złożoność liniową. Dla dużej ilości pozycji i dla dużej ilości losowań spowolnienie wykonywania programu może być zauważalne.

Niedawno jednak natrafiłem na algorytm, który po zbudowaniu (dosyć szybkim) tabeli losującej pozwala na losowanie danej pozycji ze złożonością O(1) - innymi słowy jest tak szybkie, jak zwykłe losowanie. Jako ciekawostkę powiem, że na ten algorytm natrafiłem w artykule dotyczącym ... genetyki. Jak widać informatyka nie znajduje zastosowania tylko w grach .

Algorytm ten nazywa się „Metoda Aliasów Vosego” i należy do rodziny metod aliasów pozwalających szybko losować wg. dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa (inaczej mówiąc - wg. zadanego dla każdego elementu prawdopodobieństwa).