Energia zużyta przez jadący samochód

Dawno już nie bawiłem się matematyką, ale dzisiaj mi się udało

Od kilku dni zastanawiałem się, jakie są opory ruchu jadącego samochodu. Po dokonaniu dwóch prostych pomiarów wystarczyło skorzystać z bardzo prostego wzoru, aby otrzymać siłę oporu ruchu.

$W=F_T\ast s=E_{\mathit{k1}}-E_{\mathit{k0}}$

gdzie:
W – energia stracona przy swobodnym toczeniu
F_T – siła oporu (toczenie, powietrza)
E_k0, E_k1 – energia kinetyczna na początku i na końcu pomiaru

Energię kinetyczną rzecz jasna obliczamy ze wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

co po podstawieniu za siłę wzoru $F=ma$ daje nam równanie (po skróceniu mas):

$a_T=\frac{v_1^2-v_0^2}{\mathrm{2s}}$ (1)

gdzie a_T – przyspieszenie (opóźnienie) oporów ruchu; w tej postaci ta wielkość przyda mi się później, dlatego obliczam ją właśnie.

Pomiarów, jak już wspomniałem, dokonałem tylko dwóch, a i to niezbyt dokładnych, ale moje obliczenia mają być tylko orientacyjne oraz dla zabawy, więc superdokładne wartości nie są mi potrzebne .

Pomar 1:

$v_0=100\frac{\mathit{km}}{h},v_1=70\frac{\mathit{km}}{h},s=500m$

Pomiar 2:

$v_0=80\frac{\mathit{km}}{h},v_1=60\frac{\mathit{km}}{h},s=300m$

Tu mała uwaga. Licznik mojego samochodu pokazuje zawyżoną prędkość. Żeby uzyskać rzeczywistą prędkość, należy odjąć od wskazanej wartości 10% (tj. pomnożyć przez 0,9).

Po odpowiedniej korekcie i konwersji na m/s mamy zestaw danych:

$v_0=25\frac{m}{s},v_1=\mathrm{17,5}\frac{m}{s},s=500m$
$v_0=20\frac{m}{s},v_1=15\frac{m}{s},s=300m$

i po podstawieniu do wzoru (1) dostajemy wartości:

$a_T=\mathrm{0,32}\frac{m}{s^2}$ oraz $a_T=\mathrm{0,29}\frac{m}{s^2}$

co całkiem nieźle się zgadza ze sobą .

Jak już mówiłem, obliczenia mają charakter orientacyjny, przyjmijmy więc, że opory ruchu mojego samochodu dają opóźnienie o wartości

$a_T=\mathrm{0,3}\frac{m}{s^2}$

Po podstawieniu do wzoru masy mojego autka dostajemy siłę oporu równą około 350 Newtonów. Dużo to, czy mało jak na samochód, nie wiem (to siła z jaką Ziemia działa na ciało o masie 35kg).

Idźmy dalej – jak obliczyć zużycie energii wynikające z jazdy? Energia w czasie jazdy może być kinetyczna (rozumie się samo przez się) oraz potencjalna (gdyż auto musi wjeżdżać na wzniesienia oraz zjeżdżać z nich). Ale skąd je wziąć? Przecież końcowych prędkości użyć nie mogę – wyjdzie mi 0. Podobnie z wysokościami. Potrzebowałbym dokładnych danych na temat prędkości i położenia w pewnych odcinkach czasu!

Na szczęście takimi danymi dysponowałem. Kiedyś wybierając się do brata w dalszą podróż włączyłem sobie Endomondo, żeby obejrzeć sobie później trasę. Wyeksportowałem sobie trasę do pliku xml, przerobiłem i wrzuciłem do arkusza dane na temat czasu, wysokości i dystansu.

Obliczenia nie były zbyt skomplikowane. Zrobiłem jedno założenie (nie do końca zgodne z prawdą, ale inaczej z powodu braku stosownych informacji nie mogłem postąpić): jeśli samochód zwalnia (wytraca energię), to praca wykonywana w tym czasie przez silnik jest zerowa. Wzór, który użyłem wygląda następująco:

$W_n=\Delta E_{\mathit{kn}}+\Delta E_{\mathit{pn}}+E_T$

gdzie:
W_n – praca wykonywana przez silnik na etapie n
ΔE_kn – różnica między energiami kinetycznymi na końcu i na początku etapu n
ΔE_pn – różnica między energiami potencjalnymi na końcu i na początku etapu n
E_T – energia rozpraszana wskutek oporów ruchu (można ją pominąć i obliczyć sumaryczną dla całej trasy, ale to bez znaczenia).

Całkowita praca to oczywiście suma po wszystkich etapach.

Ostateczny szczegółowy wzór to:

$W_n=m[\frac{1}{2}(v_n^2-v_{n-1}^2)+g(h_n-h_{n-1})+a_T(s_n-s_{n-1})]$

Nie za bardzo mogę przedstawić tu wszystkie dane , zresztą nie ma to żadnego znaczenia. Napiszę więc tylko wynik (tym razem użyłem we wzorze masy auta z trzema pasażerami):

$W=76\mathit{MJ}$

Jest to energia, którą można by zasilić żarówkę ledową non stop przez prawie 3 miesiące .

Jeszcze tylko jako ciekawostkę dodam, że sama praca wykonana na pokonanie oporów ruchu wyniosła aż 56MJ! To większość z wykonanej przez silnik w trakcie jazdy pracy!

No dobrze, wynik mam, ale na ile jest on wiarygodny? Istnieje jeszcze inna metoda obliczenia pracy wykonanej przez silnik: za pomocą ilości spalonego paliwa.

Nie pamiętam już, ile wtedy paliwa spaliłem, ale pamiętam, że krótko po tym wyjeździe obliczałem sobie średnie zużycie (lubię zbierać różne statystyki ) i wyszło mi 6,6L / 100km. W trasie pewnie było niższe (bo przed i po jeździłem trochę po mieście), ale nie będę już kombinował – przyjmijmy, że takie właśnie było spalanie. Trasa miała długość 133,8 km, co daje nam 8,83L spalonej benzyny.

Benzyna przy spalaniu wydziela energię 34,2 MJ/L (tylko taką informację mogłem znaleźć). Dodatkowo trzeba uwzględnić to, że tylko część tej energii zostanie przekształcona w pracę – reszta zostanie rozproszona w postaci ciepła i dźwięku/wibracji. I znowu nie mogłem znaleźć żadnych dokładnych danych, tylko informację że silniki benzynowe mają sprawność co najwyżej 35%. Mój staruszek pewnie ma niższą, dajmy mu 30% (nie muszę tak kombinować – obliczenia mają być przecież orientacyjne, ale niech już będzie).

W sumie daje nam to wykonaną pracę

$W=\mathrm{8,83}L\ast \mathrm{34,2}\frac{\mathit{MJ}}{L}\ast \mathrm{0,3}=91\mathit{MJ}$

No niech mnie, całkiem niezła zgodność (większa w każdym bądź razie niż po prostu ten sam rząd wielkości)

Różnica między nimi wynosi „tylko” 16%. Biorąc pod uwagę, że większość danych była orientacyjna i bardzo niedokładna, a czasem wręcz zgadywałem jest to wynik całkiem niezły i bardzo mnie zadowalający