Ile dwutlenku węgla wytwarzam jadąc autem?

Dużo się mówi o tym, ile człowiek (zarówno w sensie jednostkowym jak i cywilizacji) wydala do atmosfery dwutlenku węgla. Obliczenia, które chcę tu przeprowadzić na pewno nie raz już prezentowano, ale ja ich nie pamiętam – a dzisiaj w trakcie powrotu z pracy naszła mnie taka myśl: „ciekawe, ile CO₂ spalę samochodem w porównaniu z tym, co wydycham”. I o ile pewnie mógłbym to bez problemu sprawdzić w internecie, o tyle policzenie tego jest względnie łatwe a dla mnie dodatkowo przyjemne, dlatego postanowiłem policzyć to sam.

Ilość wydychanego CO₂

Dane:

Skład wydychanego powietrza: CO₂ = 4%

Objętość oddechowa: 0,5L

Ilość oddechów na minutę: 16 do 24, średnio 20

Gęstość CO₂: 1,98 kg/m3 = 1,98 kg/1000L

W ciągu roku wykonujemy

365,25 dni * 24h * 60min * 20 oddechów = 10 519 200 oddechów

co daje nam:

0,5 L/oddech * 10 519 200 oddechów = 5 259 600 L wydychanego powietrza

w tym 4% to CO₂, co daje nam:

0,04 *  5 259 600 L = 210 384 L wydychanego CO2

CO₂ ma gęstość 1,98 kg / 1000L, co daje nam

1,98 kg/1000L * 210,384 1000L = 416,5 kg

Zbliżone wartości można znaleźć w internecie, dokładna wartość nie jest zresztą ważna.

Ilość spalanej benzyny

Benzyna to głównie węglowodory, co z dużym przybliżeniem można zapisać jako

CnH2n

Węgiel ma masę molową 12, wodór 1, więc węgla w węglowodorze jest 12/14.

CO₂ ma masę molową 44, więc z danej ilości węgla powstaje 44/12 CO₂.

Gęstość benzyny wynosi ~0,75kg/L

Z litra benzyny powstanie więc

44/12 * 12/14 * 0,75kg/L = 2,36kg CO2

I tu również można znaleźć w internecie praktycznie te same wartości, i tak samo jak wyżej dokładna wartość nie ma aż tak wielkiego znaczenia).

Z moich zapisków wynika, że rocznie spalam jakieś ~1300 L benzyny, co daje nam:

1300 * 2,36kg = 3068kg CO2

Co stanowi ponad 7 razy więcej, niż wydycham!

Stany skupienia materii, cz. 2

Cztery lata temu napisałem dosyć obfity w treść(*) artykuł o stanach skupienia materii. Chciałem w nim pokazać różnorodność form, jakie przybierać może materia. Tematu wtedy nie wyczerpałem z braku wiedzy lub braku pamięci o innych jeszcze formach jakie przybierać może materia. Nie jestem z resztą pewny, czy wyczerpanie tego tematu jest możliwe .

(*) - Czytaj: przydługawy

Elektrony

Ostatnio dowiedziałem się z istnienia kolejnej formy, jaką mogą przybierać ciała stałe. Mam na myśli Elektrydy. Jeśli ktoś wie (pamięta ze szkoły) coś niecoś o jonach zrozumie w czym rzecz, pozostałych odesłać niestety do lektury uzupełniającej

Elektrydy to związki z wiązaniami jonowymi, w których rolę anionu zamiast całego zjonizowanego atomu pełni pojedynczy elektron!

Dla kogoś, kto jak ja interesuje się takimi rzeczami, a jednocześnie przyzwyczajony był (a czasem ciągle jest) do klasycznej wizji świata taka rewelacja wydaje się czymś niezwykłym. Elektron to cząstka elementarna, ponad 1000 razy lżejsza od protonu czy neutronu, a więc kilka do kilkuset tysięcy razy lżejsza od atomów – a jednak może pełnić rolę atomu w związkach chemicznych.

Tutaj, aby dopełnić obrazu niezwykłości, wspomnieć bym chciał jeszcze coś niecoś o elektronach. Mianowicie tworzą one w metalach tzw. gaz elektronowy – „chmurę” swobodnych elektronów walencyjnych, poruszających się pomiędzy dodatnimi jonami metali (że powtórzę za słownikiem języka polskiego PWN). To dzięki temu „gazowi” metale zawdzięczają swoją ogromne przewodnictwo elektryczne i cieplne.

Protony

Inną rewelacją o której zapomniałem napisać są protony pełniące rolę atomów. Nie jest to już tak niezwykłe, jak poprzednia ciekawostka. Co więcej – protony to przecież jony wodoru. Ale jeśli się nad tym zastanowić – jest to niemalże równie niesamowite, co elektrydy.

Każdy atom, także ten zjonizowany, posiada powłokę elektronów, która oddziałując z powłokami innych atomów daje w rezultacie coś, co my nazywamy chemią. Każdy oprócz wodoru ¹₁H, którego jon jest „gołym” protonem.

Chemia takich protonów jest też niezwykle ważna – związki oddające protony to kwasy (przynajmniej wg jednej z definicji), a nie muszę chyba przekonywać, jak ważna w naszym codziennym życiu jest ta klasa związków.

Kiedyś, gdy będę miał więcej czasu, chciałbym napisać o tym więcej, ale tu wspomnę tylko że życie – w sensie każda żywa komórka - „zasilane” jest przez protony właśnie! (jest to delikatnie mówiąc grube uproszczenie, przekłamanie w zasadzie, ale mimo wszystko... ).

---

Do poczytania

• Mój artykuł o stanach skupienia
• Artykuł na Wikipedii o Elektrydach
• Artykuł o jonach na polskiej Wikipedii
• Artykuł O jonach na angielskiej Wikipedii (bardziej rozbudowany)
• Artykuł na angielksiej Wikipedii o jonach wodoru

Energia zużyta przez jadący samochód

Dawno już nie bawiłem się matematyką, ale dzisiaj mi się udało

Od kilku dni zastanawiałem się, jakie są opory ruchu jadącego samochodu. Po dokonaniu dwóch prostych pomiarów wystarczyło skorzystać z bardzo prostego wzoru, aby otrzymać siłę oporu ruchu.

Grawitacja walca

Ostatnio trochę mi się nudziło, a nowe artykuły jakoś nie chciały mi się napisać, więc zastanawiałem się troszkę nad grawitacją nieskończonego walca. Dlaczego nieskończonego? W zasadzie sam nie wiem, ale pewnego rodzaju wyidealizowanie problemu może czasem znacząco go uprościć. Jednak jak sądzę rozwiązanie, które otrzymałem, można zastosować również do zwykłych walców.

Stany skupienia materii

Wszyscy wiemy ze szkoły, że istnieją trzy stany materii: ciała stałe, ciecze i gazy. Podział ten jest prosty i - jak to często bywa z prostymi podziałami - nie mający wiele wspólnego z rzeczywistością. No - nie tak do końca, rzecz jasna. Istnieją ciała stałe, ciecze i gazy. Sęk w tym, że istnieje też wiele substancji, które trudno byłoby zaliczyć do jednej z tych trzech kategorii.

Plazma

Pierwszy przykład to plazma. Jest to mówiąc najprościej zjonizowany gaz. Uzyskuje się ją albo wystawiając gaz na działanie silnego pola elektrycznego, albo podgrzewając go do wysokiej temperatury. Na pozór podobna do gazów, w odróżnieniu od nich przewodzi dobrze prąd i co za tym idzie, posiada właściwości magnetyczne, czy ogólnie silnie reaguje na siły elektromagnetyczne. Z tego powodu tych właściwości, które odróżniają ją od zwykłego gazu, uznaje się ją za czwarty stan skupienia.

Plazmę można spotkać wszędzie. Tu na Ziemi w wyświetlaczach plazmowych, w neonówkach, w obecności łuków i wyładowań elektrycznych (np. łuków spawalniczych, piorunów). Ba! - nawet płomień zwykłej świeczki zawiera plazmę.

Lampa plazmowa.
Autor: Luc Viatour (Creative Commons). Źródło: Wikipedia.

W kosmosie plazmą jest właściwie wszystko: gwiazdy, które w całości składają się z plazmy i ogromna większość materii międzyplanetarnej / międzygwiezdnej / międzygalaktycznej. W stanie plazmy znajduje się ogromna większość zwykłej materii. Szacuje się, że nawet ponad 99,999% widzialnego wszechświata to plazma!

Wszechobecność plazmy i jej właściwości elektromagnetyczne dały podstawę do wysunięcia różnych teorii (czy raczej hipotez) tzw. elektrycznego wszechświata, wg. których elektromagnetyzm jest dominującą siłą we wszechświecie (w przeciwieństwie do klasycznej kosmologii, gdzie dominującą siłą jest grawitacja). Chociaż wpływ plazmy na wiele zjawisk astrofizycznych jest niezaprzeczalny, hipotezy te jednak nie zyskały szerszego poparcia.

Grawitacja Ziemi

W poprzednim artykule liczyłem grawitację jednolitej kuli i sfery. A co jeśli dany obiekt nie jest jednolity? Jeśli składa się z różnych materiałów o różnej gęstości?

Przykładem takiego obiektu jest Ziemia, która składa się z warstw o różnym składzie chemicznym i o różnej gęstości - co więcej, gęstość każdej warstwy zmienia się w zależności od głębokości.

Warstwa	grubość (km)	promień zewnętrzny	gęstość (g/cm3)
			dolna	górna
Skorupa	30	6370	2,9	2,2
Płaszcz górny	690	6340	4,4	3,4
Płaszcz dolny	2170	5650	5,6	4,4
Jądro zewnętrzne	2260	3480	12,2	9,9
Jądro wewnętrzne	1220	1220	13,1	12,8

Struktura Ziemi. Źródło: The interior of the Earth by Eugene C. Robertson.

Zmniejszyłem grubość płaszcza górnego, ponieważ suma przekraczała średnicę Ziemi, poza tym grubość płaszcza górnego znacząco odbiegała od wartości znalezionych na Wikipedii. Pozwoliłem też sobie zaokrąglić nieco podane wartości. Nie powinno mieć to jednak większego znaczenia dla potrzeb tego artykułu.

Zanim odpowiem na to pytanie, przytoczę parę wniosków z poprzedniego artykułu:

1. Grawitację na zewnątrz kuli / sfery możemy liczyć tak jakbyśmy liczyli grawitację punktu materialnego.
2. Grawitacja wewnątrz kuli w odległości od środka równej r może być liczona jako grawitacja na powierzchni wewnętrznej części kuli o promieniu r - gdyż warstwy nad tym punktem tworzą sferę, w związku z czym nie wnoszą nic do wynikowej grawitacji.

Czyli aby obliczyć grawitację wewnątrz Ziemi w punkcie r, musimy wiedzieć ile wynosi masa wyciętej z Ziemi kuli o promieniu r.

Grawitacja kuli i sfery

Jak obliczyć grawitację punktu materialnego wie chyba każdy - nawet jeśli nie pamięta szczegółów, to wie że jest jakiś tam prosty wzór:

$F_g=G\frac{Mm}{r^2}$

Trochę gorzej już z grawitacją kuli. Nie wiem, jak jest teraz, ale gdy ja chodziłem do szkoły nie uczono nas o tym, że grawitacja wewnątrz jednolitej kuli spada liniowo do zera(*) w środku kuli (to że w samym środku powinno być zero, można było się domyślić samemu).

$a_g\propto mr$

Na zewnątrz kuli grawitacja spada zgodnie z klasycznym wzorem Newtona.

(*) - Przeczytałem o tym kiedyś w jakimś zestawie ćwiczeń - nie pierwszy taki przypadek, kiedy dowiedziałem się czegoś interesującego i względnie ważnego nie z podręczników, które są chyba z roku na rok coraz bardziej okrajane, tylko skądś indziej. Postanowiłem więc napisać program symulujący grawitację kuli. Wyniki które otrzymałem potwierdzały to, co przeczytałem.

Liniowy spadek grawitacji wewnątrz kuli wynika z ogólnych praw grawitacji i udowodnienie tego wykracza poza moje umiejętności. Dlatego po prostu zakładam, że skoro inni to udowodnili, tak jest faktycznie i bazując na tym fakcie chcę tylko wyprowadzić o własnych siłach wzór na grawitację wewnątrz sfery. Można by też pójść w drugą stronę, ale nie ma to dla potrzeb tego artykułu żadnego znaczenia.

Dokładny wzór (na stałą) można wyprowadzić sobie samemu zauważając, że wartość siły musi zmieniać się płynnie (nie może być przeskoków) - więc wartość siły z jednego wzoru i drugiego w punkcie r=R (promienia kuli) musi być identyczna:

$a=G\frac{m}{R^2}=CmR$

gdzie C - niewiadoma stała. To daje nam

$C=\frac{G}{R^3}$

czyli grawitacja wewnątrz kuli jest równa

$a=G\frac{mr}{R^3}$

gdzie R - promień danej kuli.

Kolor nieba

Jedno z najpowszechniej zadawanych pytań (często przez dzieci, ale nie tylko) dotyczących natury tego świata brzmi: „Dlaczego niebo jest niebieskie?”.

Odpowiedź jest względnie prosta, ale wymaga posiadania pewnej wstępnej wiedzy na temat światła i tego, w jaki sposób je postrzegamy. Nie zamierzam robić na ten temat żadnego wykładu, dlatego omówię to króciutko, a każdego zainteresowanego odsyłam linkami gdzie informacje zimują (tj. do internetu) .

Światło to, jak zapewne wszyscy już wiedzą, fale elektromagnetyczne. Fale owe mogą mieć różną długość/częstotliwość. Światło widzialne składa się z mieszaniny fal o długościach od ok. 380nm (fioletowe) do ok. 780nm (czerwone).

Nasze oczy, z powodu swojej budowy, nie zauważają jednak tych wszystkich niuansów. posiadamy 4 rodzaje fotoreceptorów - pręciki odpowiedzialne za widzenie światła (które nas tutaj nie interesują), oraz 3 rodzaje czopków odpowiedzialnych za widzenie kolorów. Każdy rodzaj czopków ma inną czułość na fale świetlne o różnych długościach. Przykładowo czopek odpowiedzialny za widzenie barwy zielonej, najlepiej „widzi” fale o długości 534nm, trochę gorzej fale o podobnej długości, i prawie w ogóle (ale nie całkiem w ogóle) fale o znacznie innej długości (np. fioletowe).

Względna absorpcja (czułość?) światła czopków (K, Ś, D) i pręcików (Pr) przez ludzkie oko. Uwaga: skala długości fali nie jest liniowa.
Autorstwo: Masur (patrz źródło, przerobione przeze mnie na png). Źródło: Wikipedia.

Powiedziawszy to, mogę teraz przystąpić do wyjaśniania dlaczego niebo ma taki kolor, jaki ma. Powietrze, chociaż jest przezroczyste, rozprasza fale elektromagnetyczne(*). Co więcej - im krótsza fala, tym bardziej jest rozpraszana. Mechanizm, który jest za to odpowiedzialny, to rozpraszanie Rayleigha. Intensywność z jaką rozpraszane są fale elektromagnetyczne jest proporcjonalna do czwartej potęg ich częstotliwości, lub inaczej mówiąc odwrotnie proporcjonalna do czwartej potęgi długości fali (~λ⁴). Czyli światło niebieskie będzie rozpraszane kilkanaście razy bardziej niż światło czerwone.

(*) - Mówię cały czas o świetle widzialnym. Dla innych długości sprawa jest bardziej interesująca.

Ilustracja intensywności rozpraszania światła o różnych kolorach. Podana długość fali w nanometrach, wysokość proporcjonalna do rozpraszania. Wykonane przeze mnie przy pomocy programu GIMP, kolorowe spektrum uzyskano z programu Spectra.

W efekcie przezroczysta atmosfera w kierunku różnym od kierunku Słońca wyda nam się niebieska, ponieważ z tamtej strony będzie do nas dochodziło rozproszone światło niebieskie.

No dobrze - ale dlaczego nie fioletowe? Przecież kolor fioletowy ulega rozproszeniu jeszcze silniej. Tak - ale oprócz fioletowego i niebieskiego rozproszeniu ulegają również inne barwy - zielona, i w minimalnym stopniu żółta i czerwona. Nasze receptory będą więc mniej więcej równomiernie pobudzane przez fioletowe światło jak i przez światło zielone/żółte/czerwone (o niebieskim nie wspominam) - co ze względu na sposób działania naszych oczu da w efekcie kolor niebieski właśnie (to wytłumaczenie jest - że się tak wyrażę - takie trochę „na oko” ).

Podwójna orbita kołowa

Począwszy od podstawówki, gdzie nauczyłem się wzoru na grawitację i jak obliczać orbitę ciała okrążającego Ziemię, zastanawiałem się nad jedną rzeczą.

Aby obliczyć orbitę jakiegoś satelity, potrzebna jest masa Ziemi - i wtedy oblicza się promień tej orbity w zależności od okresu obiegu:

$\begin{array}{c}{F}_g=F_{\mathrm{od}}\Rightarrow \frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\\ v=\frac{s}{t}=\frac{2\mathrm{\pi }r}{T}\end{array}\}\Rightarrow \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{GM}$

(1)

Co notabene stanowi trzecie prawo Keplera.

Problem dla mnie pojawiał się, gdy obiekt okrążający Ziemię (lub dowolny inny obiekt) miał porównywalną z Ziemią masę. Wiemy że środek ciężkości takich układów nie leży w centrum większego ciała (w przypadku układu Ziemia-Księżyc leży on 3/4 promienia Ziemi od jej środka). Jeśli weźmiemy powyższy wzór, aby obliczyć orbitę Księżyca, to wynik będzie się rozmijał z rzeczywistymi wartościami. Jeszcze gorzej sytuacja wygląda dla układu Pluton-Charon. Jak się ma r we wzorze na siłę grawitacji F_g do r we wzorze na siłę odśrodkową F_od?

Cóż - rozwiązanie jest naprawdę bardzo proste i aż dziw mnie bierze, że dopiero teraz na to wpadłem (chociaż jako usprawiedliwienie mogę podać, że nie zajmowałem się tym problemem w ogóle, poprzestając na zdziwieniu).

Rozwiązanie mianowicie jest takie, że te dwa promienie to tak naprawdę dwie różne wielkości. Dla siły grawitacyjnej F_g jest to odległość, a nie promień. Dla siły odśrodkowej jest to promień orbity, równy odległości od środka ciężkości układu. I to wszystko.

Dwa okrążające się ciała

Pozostaje mi tylko jeszcze zapisać odpowiednie wzory.

$F_g=F_{\mathrm{od1}}=F_{\mathrm{od2}}\equiv \frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}=\frac{m_1{v}_1^2}{r_1}=\frac{m_2{v}_2^2}{r_2}\text{ , gdzie }r=r_1+r_2$

Skupiając się na równości sił odśrodkowych i pamiętając o tym, że okresy obiegu T obydwu ciał muszą być sobie równe, można dojść do wzoru:

$r_1=r\frac{m_2}{m_1+m_2}$

i analogicznie dla r₂.

Skupiając się na równości siły grawitacyjnej i dowolnej z sił odśrodkowych, można dojść do wzoru:

$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{G(m_1+m_2)}$

gdzie r jest odległością obydwu ciał od siebie.

Jak widać, jeśli jedna z mas jest pomijalnie mała, otrzymujemy wzór (1), którego uczy się w szkołach. Szkoda tylko, że się nie wspomina o tym, że jest to przybliżenie i nie podaje się pełnego wzoru - może wtedy nie łamałbym sobie nad tym głowy. Ale za to czuję satysfakcję, że sam do tego doszedłem (chociaż szkoda, że dopiero teraz - no, ale lepiej późno niż wcale ).

Ile energii potrzeba żeby zniszczyć całkowicie planetę

Niedawno czytałem pewien artykuł o tym, ile energii trzeba aby wysadzić planetę wielkości Ziemi. Co prawda Phil Plait nie podał dokładnie, w jaki sposób obliczył tę wartość, ale dał pewną wskazówkę: trzeba obliczyć sumę energii potrzebnych na wyrzucanie po kolei małych kawałków planety poza zasięg jej pola grawitacyjnego.

Jako że interesuję się trochę matematyką, podjąłem to wyzwanie.

Wzór na energię potrzebną do wyrzucenia kawałka planety poza zasięg jej pola grawitacyjnego można obliczyć jako pracę potrzebną do podniesienia ciała o masie m z powierzchni planety o masie M i promieniu r do nieskończoności:

$W=\frac{GmM}{r}\text{, gdzie G - stała grawitacyjna}$

Energia potrzebna na wyrzucenie całej planety w kosmos, to suma:

$E=\sum _{i=1}^n{W}_i=\sum _{i=1}^{n}G\frac{M_{i}m}{r_i}$

gdzie

• M_i - masa planety po wyrzuceniu i-tego kawałka;
• m - masa wyrzucanych kawałków - dla uproszczenia przyjmujemy, że są stałe;
• r_i - promień planety po wyrzucaniu i-tego kawałka;