Grawitacja kuli i sfery

Jak obliczyć grawitację punktu materialnego wie chyba każdy - nawet jeśli nie pamięta szczegółów, to wie że jest jakiś tam prosty wzór:

$F_g=G\frac{Mm}{r^2}$

Trochę gorzej już z grawitacją kuli. Nie wiem, jak jest teraz, ale gdy ja chodziłem do szkoły nie uczono nas o tym, że grawitacja wewnątrz jednolitej kuli spada liniowo do zera(*) w środku kuli (to że w samym środku powinno być zero, można było się domyślić samemu).

$a_g\propto mr$

Na zewnątrz kuli grawitacja spada zgodnie z klasycznym wzorem Newtona.

(*) - Przeczytałem o tym kiedyś w jakimś zestawie ćwiczeń - nie pierwszy taki przypadek, kiedy dowiedziałem się czegoś interesującego i względnie ważnego nie z podręczników, które są chyba z roku na rok coraz bardziej okrajane, tylko skądś indziej. Postanowiłem więc napisać program symulujący grawitację kuli. Wyniki które otrzymałem potwierdzały to, co przeczytałem.

Liniowy spadek grawitacji wewnątrz kuli wynika z ogólnych praw grawitacji i udowodnienie tego wykracza poza moje umiejętności. Dlatego po prostu zakładam, że skoro inni to udowodnili, tak jest faktycznie i bazując na tym fakcie chcę tylko wyprowadzić o własnych siłach wzór na grawitację wewnątrz sfery. Można by też pójść w drugą stronę, ale nie ma to dla potrzeb tego artykułu żadnego znaczenia.

Dokładny wzór (na stałą) można wyprowadzić sobie samemu zauważając, że wartość siły musi zmieniać się płynnie (nie może być przeskoków) - więc wartość siły z jednego wzoru i drugiego w punkcie r=R (promienia kuli) musi być identyczna:

$a=G\frac{m}{R^2}=CmR$

gdzie C - niewiadoma stała. To daje nam

$C=\frac{G}{R^3}$

czyli grawitacja wewnątrz kuli jest równa

$a=G\frac{mr}{R^3}$

gdzie R - promień danej kuli.

Grawitacja kuli, rysunek poglądowy.

Wiedząc to wszystko można sobie łatwo wyprowadzić, jak będzie wyglądać grawitacja wewnątrz sfery o pewnej grubości. Należy po prostu od większej kuli odjąć mniejszą:

$a_s=a_{\mathrm{k2}}-a_{\mathrm{k1}}$

Daje nam to 3 przypadki: wewnątrz mniejszej kuli (r≤R1), pomiędzy dwiema kulami (R1<r≤R2) oraz na zewnątrz większej kuli (r>R2).

Przypadek 1

Podstawiając za masę:

$m=\rho *V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\rho R^3$

dostajemy wzory na grawitację wewnątrz kuli

$a=G\frac{mr}{R^3}=G\frac{\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\rho R^{3}r}{R^3}=G\frac{4}{3}\mathrm{\pi }\rho r$

czyli przyspieszenie nie zależy w takim ujęciu od rozmiarów kuli, a jedynie od jej gęstości - a to oznacza, że dla kul o takich samych gęstościach (jak jest w tym przypadku) grawitacja wewnątrz obydwu kul dla r<=R1 będzie identyczna. Co daje nam

$a=0\text{ dla }r\le R_1.$

Innymi słowy sfera nie wywiera żadnego grawitacyjnego wpływu na znajdujące się w jej wnętrzu ciała!

Przypadek 2

Tutaj sprawa zaczyna się komplikować - grawitacja z mniejszej kuli zaczyna maleć kwadratowo, ale grawitacja większej kuli rośnie jeszcze liniowo:

$a=G\frac{m_{2}r}{R_2^3}-G\frac{m_1}{r^2}$

co po zamianie masy na gęstość(*) daje nam

$a=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }G\rho r-\frac{4}{3}\mathrm{\pi }G\rho \frac{R_1^3}{r^2}=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }G\rho (r-\frac{R_1^3}{r^2})$

Nic więcej z tym nie zrobimy.

(*) - Wzór z gęstością ma pewną zaletę w stosunku do wzoru z masami - zależy tylko od jednej niewiadomej stałej (od R₁) oraz od gęstości, która nie musi być stała w rzeczywistych zastosowaniach (patrz ostatni akapit).

Przypadek 3

Grawitacja pochodząca z obydwu kul maleje kwadratowo, co powinno prowadzić do pewnych uproszczeń. Użyjmy od razu wzorów z gęstością:

$a=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }G\rho \frac{R_2^3}{r^2}-\frac{4}{3}\mathrm{\pi }G\rho \frac{R_1^3}{r^2}=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }G\frac{\rho }{r^2}(R_2^3-R_1^3)$

Promienie R są stałe, więc grawitacja na zewnątrz sfery maleje kwadratowo, podobnie jak kuli. Co więcej jej siła zależy od różnicy mas obydwu kul, czyli od masy wynikowego obiektu. Wynika stąd ważny wniosek - grawitację na zewnątrz kuli oraz sfery możemy liczyć tak jakbyśmy liczyli grawitację punktu materialnego.

Grawitacja sfery (czerwonym kolorem), rysunek poglądowy.

Inny ważny wniosek jest taki, że grawitacja wewnątrz kuli w punkcie r może być liczona jako grawitacja na powierzchni wewnętrznej części kuli o promieniu r - gdyż warstwy nad tym punktem tworzą sferę, w związku z czym nie wnoszą nic do wynikowej grawitacji.

No dobrze, ale dlaczego w ogóle zajmuję się grawitacją sfery? Jest to po pierwsze ciekawe samo z siebie. A po drugie, przyda mi się do obliczania grawitacji Ziemi, lub ogólnie grawitacji kuli o niejednorodnej gęstości.