Grawitacja walca

Ostatnio trochę mi się nudziło, a nowe artykuły jakoś nie chciały mi się napisać, więc zastanawiałem się troszkę nad grawitacją nieskończonego walca. Dlaczego nieskończonego? W zasadzie sam nie wiem, ale pewnego rodzaju wyidealizowanie problemu może czasem znacząco go uprościć. Jednak jak sądzę rozwiązanie, które otrzymałem, można zastosować również do zwykłych walców.

Grawitację obliczymy, czego się można było spodziewać, stosując całkę Riemanna.

Pomagając sobie powyższym obrazkiem, przyspieszenie grawitacyjne obliczymy ze wzoru:

$$a=a_0+2\sum _{i=0}^{\infty }{a}_{\mathrm{iy}}$$

gdzie a_iy to składowa przyspieszenia dla każdego plasterka wzdłuż osi y. Dlaczego tylko a_iy? Bo składowe wzdłuż osi x się znoszą.

$$a_{\mathrm{iy}}=\frac{r}{l}{a}_i$$ $$a_i=G\frac{m}{l^2}=G\frac{\rho \pi R^{2}d}{r^2+x^2}=G\frac{\rho \pi R^{2}d}{r^2+{\left(d*i\right)}^2}$$

czyli

$$a_{\mathrm{iy}}=G\rho \pi \frac{r{R}^{2}d}{{\left(r^2+{\left(i*d\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}$$

Ostatecznie otrzymujemy:

$$a=a_0+2G\rho \pi r{R}^2\sum _{i=0}^{\infty }\frac{d}{{\left(r^2+{\left(i\star d\right)}^2\right)}^{\frac{3}{2}}}$$

Gdy d→0, otrzymujemy całkę Riemanna (a₀ wyniesie 0, więc mogę zignorować ten wyraz):

$$a=2G\rho \pi r{R}^2\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{{\left(r^2+x^2\right)}^{\frac{3}{2}}}$$

Po paru nieudanych próbach (ale ze mnie leń ) skorzystałem z pomocy Wolfram|Alpha i otrzymałem następujący wzór:

$$a=2G\rho \pi r{R}^2{\left[\frac{x}{r^2\sqrt{r^2+x^2}}\right]}_0^{\infty }$$

Później, wiedziony ciekawością, wyszukałem w internecie, że należy w całce podstawić za x = r * tan(u).

Po obliczeniu granicy w nieskończoności otrzymujemy dokładną wartość przyspieszenia grawitacyjnego w pobliży nieskończonego walca:

$$a=2G\rho \pi \frac{R^2}{r}$$

Wniosek

Jak widać, przyciąganie grawitacyjne maleje w otoczeniu takiego walca odwrotnie proporcjonalnie do odległości, a nie jak w przypadku zwykłych obiektów - odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości. Jakby się zastanowić, ma to nawet sens - nieskończony walec można wyobrazić sobie jako koło na płaszczyźnie rozciągnięte w nieskończoności - a w przestrzeni dwu-wymiarowej grawitacja maleje właśnie proporcjonalnie do ¹/_r.

Zwykły walec

Napisałem na początku, że rozwiązanie to można zastosować do zwykłych walców. Pewności nie mam, ale jeśli się nie mylę, to wystarczy po prostu użyć wzoru (wyobrażając sobie układ taki jak na obrazku):

$$a=G\rho \pi r{R}^2\underset{x_1}{\overset{x_2}{\mathrm{\int }}}\frac{\mathit{dx}}{{(r^2+x^2)}^{\frac{3}{2}}}=G\rho \pi r{R}^2{\left[\frac{x}{r^2\sqrt{r^2+x^2}}\right]}_{x_1}^{x_2}$$

gdzie x1 i x2 to współrzędne ścianek (denek) walca.

Należy zwrócić uwagę na to, że nie ma tu dwójki. Jest tak dlatego, ponieważ poprzednio obliczałem sumę od środka, do „końca” (całkowałem od 0 do ∞), czyli tylko jedną część symetrycznego walca - dlatego należało całość pomnożyć przez 2. Można by spokojnie zamiast tego całkować (sumować) od -∞ do +∞.

Tego wzoru nie można niestety zastosować, gdy badany przez nas punkt leży wewnątrz powierzchni walcowej (w szczególności, gdy leży on wewnątrz walca). Jeśli jednak ktoś chce, może spróbować przeprowadzić analogiczne jak wyżej obliczenia dla takiej konfiguracji. Ja sam otrzymałem taką całkę, że nawet Wolfram|Alpha nie chciał mi jej obliczyć . Nie będę jej tu umieszczał - artykuł miał być w sumie tylko o nieskończonym walcu i pewnym wniosku, do jakiego doszedłem

Oczywiście daleko od takiego zwykłego walca doskonale działa zwykły wzór Newtona (jako przybliżenie).

* * *

Przy pisaniu tego postu próbowałem używać wtyczki do Firefoxa - Firemath. Nie polecam nikomu. Już chyba lepiej pisać wszystko ręcznie - jedyne bowiem przewagi (wątpliwe zresztą) owego „edytora” to toporny interfejs graficzny i natychmiastowy podgląd generowanego wzoru. To tylko tak mówię - tytułem dzielenia się zdobytym doświadczeniem.