Pi

Dzisiaj jest 14 marca. Jeśli zapisać tę datę w odpowiedni sposób, dostaniemy 3.14 - czyli przybliżenie liczby pi. Dlatego niektórzy ludzie obchodzą dziś święto tej bardzo ważnej skądinąd oraz ciekawej liczby. Jako że symbol π wymawia się po angielsku paj (pie - ciasto), na święto liczby pi piecze się okrągłe ciasta .

Pi, nazywana również na cześć Ludolpha van Ceulena ludolfiną, jest zdefiniowana jako długość obwodu koła do długości jego średnicy (w geometrii euklidesowej). Oznacza się ją grecką literą π od słowa περίμετρον – perimetron, czyli obwód.

Liczba ta ma niesamowitą ilość zastosowań, dlatego nawet nie będę ich tu wyliczał. Występuje w matematyce i fizyce dosłownie wszędzie, czasem w najmniej spodziewanych miejscach (np. przy rzucaniu zapałkami, czy nawet w równaniu opisującym zasadę nieoznaczoności Heisenberga: $\Delta x\Delta p_x=\frac{h}{4\pi }$ )

Liczba π jest liczbą rzeczywistą. Nie jest wymierna i w dodatku jest liczbą przestępną (dlatego nie można zrobić kwadratury koła). Oznacza to, że nie można jej ani łatwo zapisać, ani obliczyć.

Można ją jednak przybliżać na różne sposoby liczbami wymiernymi - w dosyć prosty sposób i z dosyć dużą dokładnością. Starożytni babilończycy przybliżali ją jako 3¹/₈(*). O wiele lepsze przybliżenie daje 3¹/₇ (błąd jest mniejszy od ¹/₂₀ procenta). Jeszcze lepsze przybliżenie daje łatwa do zapamiętania liczba 113355(**) - trzeba ją tylko podzielić na dwie części (jako napis) i większą część zapisać w liczniku, a mniejszą w mianowniku:

113355 -> 113 | 355 -> ³⁵⁵/₁₁₃

Błąd jest tak mały (10^-7), że nie liczy się go nawet w procentach - i to przybliżenie całkowicie wystarcza do jakichkolwiek praktycznych obliczeń (tak po prawdzie wystarcza nawet 3¹/₇).

(*) - W Biblii (1 Krl, 7:23; 2 Krn 4:2) liczba π jest podana jako równa 3. Nie ma to oczywiście żadnego znaczenia, ponieważ ludzie spisujący owe liczby raczej nie przejmowali się takimi „drobnymi szczegółami”. Poza tym można wątpić, że opisywany obiekt był idealnie okrągły (że o dokładności pomiarów nie wspomnę).

Ale jeśli jakiś biblijny literalista wierzący bezgranicznie w nieomylność Biblii, czy jakiś fundamentalista twierdzący, że Biblia jest słowem samego Boga, zajdzie nam zbytnio za skórę, to można mu to wytknąć .

(**) - Liczba ta bierze się z zapisu liczby π w postaci tzw. ułamka łańcuchowego. Zapis π w takiej notacji to [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, ...] (nie posiada on żadnych regularności, chociaż zgeneralizowane zapisy mogą być regularne). Obcięcie takiego ułamka w dowolnym miejscu daje nam coraz dokładniejsze wymierne przybliżenia liczby π. I tak:

[3; 7] = ²²/₇ = 3¹/₇
[3; 7, 15] = ³³³/₁₀₆ = 3¹⁵/₁₀₆
[3; 7; 15; 1] = ³⁵⁵/₁₁₃ = 3¹⁶/₁₁₃
itd.

Ostatnie pokazane przybliżenie daje właśnie wspomnianą łatwą do zapamiętania liczbę.

Jak już powiedziałem, do jakichkolwiek praktycznych zastosowań wystarczy kilka-kilkanaście miejsc po przecinku. Żeby obliczyć objętość wszechświata z dokładnością do jednego atomu, wystarczyłoby zaledwie 39 miejsc po przecinku. Hiperdokładne (biliony miejsc po przecinku) obliczanie liczby π musi mieć więc jakiś inny cel. Jednym z takich celów jest z pewnością ludzka chęć pobicia kolejnego rekordu. Algorytmy obliczające liczbę π stosuje się jednak jako programy testowe dla superkomputerów i różnych algorytmów numerycznych (sprawdzające ich wydajność, niezawodność i dokładność). Rezultaty takich obliczeń są też wykorzystywane w matematyce przy badaniu właściwości liczby π.

Niektórzy ludzie uczą się cyfr liczby π na pamięć (wykorzystując do tego często jakieś dziwne wierszyki), bijąc kolejne rekordy długości zapamiętanej sekwencji. Rekord wynosi prawie 70 tysięcy cyfr, które zostały wyrecytowane w czasie ponad 24 godzin. No cóż - zawsze to jakiś cel w życiu .

Cyfry składające się na liczbę π mają ciekawą właściwość. Otóż zawiera się w nich dowolny ciąg cyfr(*). Można w nich znaleźć swoją datę urodzenia (czy dowolny inny numer), albo zakodowany w systemie dziesiętnym (z resztą w dowolnym systemie) każdy program komputerowy, każdą mp3, każdy program telewizyjny, książkę itp.

(*) - Oki, trochę poniosła mnie teraz fantazja. Tak naprawdę nie wiadomo czy to jest prawda. Ale wydaje się to w tej chwili na tyle prawdopodobne i sensowe, że można tak twierdzić w jakiejś nieformalnej rozmowie czy tekście artykułu takim, jak ten. Liczby, które posiadają taką właściwość, nazywają się liczbami normalnymi (i nie wiadomo, czy π, e albo √2 są normalne) .

A swoją drogą, jeśli to prawda, to firmy dbające o „dobro właścicieli praw autorskich” powinny pozwać wszechświat - może wtedy ludzie tworzący prawo zobaczyliby, jaki idiotyczny system stworzyli .

Na końcu książki „Kontakt” Carla Sagana komputer obliczający cyfry liczby π znajduje zakodowany w postaci zer i jedynek obrazek „kółka” (8x8 pikseli bodajże). Jeśli dobrze rozumiem, miał to być znak, że cywilizacja, z którą skontaktowali się ziemianie, rzeczywiście istnieje i jest odpowiedzialna w jakiś tam sposób za prawa (a może nawet istnienie) tego wszechświata(*).

(*) - Książkę czytałem bardzo dawno temu, więc mogę się mylić w tym, co napisałem. Tak czy siak, chyba warto by ją sobie odświeżyć.

Otóż można mieć pewność, że taki obrazek (i inne obrazki) na prawdę istnieją zakodowane w liczbie π - właśnie z powodu owej właściwości. Problem tylko w tym, że nie wiadomo gdzie on się znajduje. Inny problem jest taki, że znajduje się pewnie gdzieś bardzo daleko - tak daleko, że pewnie nie będziemy nawet potrafili obliczyć w rozsądnym czasie cyfr liczby π na odpowiednich pozycjach.

Z tego też powodu nie można także wyszukać wśród cyfr π zapisanych w niej filmów, muzyki, programów czy książek - one gdzieś tam są, ale zanim byśmy się do nich dorwali, musielibyśmy przeszukać mnóstwo „śmiecia” .

Obwód koła wynosi 2πr, dlatego niektórzy matematycy zaproponowali, aby zamiast stałej π stosować stałą τ (tau), co uprościłoby niektóre wzory (urodziny τ byłyby 28 czerwca ;)), ale stała ta nie przyjęła się jakoś.

Twórcy kanału YouTube Numberphile (konkretnie prof. Philip Moriarty) przypisali cyfrom dziesiętnego rozwinięcia liczby π konkretne dźwięki - i okazało się, że wyszła całkiem ładna melodia

Na koniec dowcip (nieprzetłumaczalny, dlatego po angielsku ).

Q: What is the volume of a pizza of thickness a and radius z?

A: pi z z a.