Arek Wittbrodt: Jasność Wenus

Na blogu Bad Astronomy przeczytałem, że 22 marca Wenus znajdzie się najdalej na niebie od Słońca, a potem będzie się przybliżać. Będzie wtedy stawać się sierpem (Wenus ma fazy, podobnie jak księżyc, ale o tym innym razem) więc będzie widoczna mniejsza część jej oświetlonej powierzchni. Ale mimo to będzie się robić jaśniejsza!

Fazy Wenus i jej wielkość, źródło

Zaintrygowany, postanowiłem sam obliczyć, kiedy dokładnie Wenus jest najjaśniejsza. Rzecz jasna nie tylko procent widocznego oświetlenia odgrywa tutaj rolę. Duże znaczenie (nawet o wiele większe w przypadku układu Ziemia-Wenus) ma też odległość Wenus od Ziemi.

Jasność obiektu zależy od odległości od źródła światła/obserwatora (zależy co rozważamy), a konkretnie jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości (tak jest! - tak samo jak grawitacja i oddziaływanie elektrostatyczne).

W przypadku Wenus możemy założyć, że światło docierające do niej ze Słońca jest stałe, czyli ta zmienna wypada z równania. Zostaje faza Wenus (procent oświetlenia) i odległość od Ziemi.

Najpierw słowo wyjaśnienia. Żeby obliczyć kiedy Wenus będzie najjaśniejsza, należy z tego zrobić funkcję czegoś. Ja zrobiłem z jasności Wenus funkcję położenia Wenus na orbicie względem linii Słońce-Ziemia (kąt α na rysunku). Czyli $L = g (α)$ (*). Pamiętać należy przy tym, że nie jest to jasność w żadnych jednostkach, tylko wartość proporcjonalna jasności (w niezdefiniowanych bezwymiarowych jednostkach). Inaczej mówiąc powinienem stale pisać $L \propto g (α)$ albo $L = const \cdot g (α)$ , ale dla uproszczenia będę pisał $L = g (α)$ .

(*) - konkretna nazwa tej funkcji nie ma znaczenia - chodzi o wyjaśnienie zasady. Nazwałem ją g, ponieważ symbol f jest już zajęty do oznaczenia fazy (f).

L = \frac{f}{d^{2}}, gdzie f - faza oświetlenia, d - odległość Ziemi od Wenus (patrz rysunek);

Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć d:

d^{2} = z^{2} + {(r_{2} + q)}^{2} = {(r_{1} \sin (α))}^{2} + {(r_{2} + r_{1} \cos (α))}^{2} = r_{1}^{2} \sin^{2} (α) + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (α) + r_{1}^{2} \cos^{2} (α) = {\sin^{2} + \cos^{2} = 1} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{1} \cos (α)

Co ciekawe do tego wzoru doszedłem pierwotnie inną drogą - z twierdzenia cosinusów. Ten drugi sposób jest łatwiejszy, ale chciałem pokazać obydwa:

d^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{1} \cos (180° - α) = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{1} \cos (α)

Pozostaje nam jeszcze obliczyć γ:

γ = α - β

(Mniej więcej - z dokładnością do znaku. Nie sprawdzałem dokładnie, ale wyniki wychodzą poprawnie . Z resztą dla cosinusów znak nie ma znaczenia.)

β obliczymy ze wzorów:

\frac{z}{r_{1}} = \sin (α) \Rightarrow z = r_{1} \sin (α)

\sin (β) = \frac{z}{d} = \frac{r_{1} \sin (α)}{d}

β = \arcsin (\frac{r_{1} \sin (α)}{d}) = \arcsin (\frac{r_{1} \sin (α)}{\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (α)}})

Fazę (f) obliczyć względnie łatwo:

p = \frac{D}{2} \cos (γ)

l = \frac{D}{2} + p = \frac{D}{2} + \frac{D}{2} \cos (γ)

l = \frac{D}{2} (1 + \cos (γ))

f = \frac{l}{D} = \frac{1 + \cos (γ)}{2}

I już wszystko mamy. Pozostaje złożyć to tak dla zabawy w całość (mówię "dla zabawy", ponieważ do praktycznych zastosowań nie warto tego łączyć - lepiej obliczyć najpierw f, d² / d oraz β, i dopiero potem ich użyć) :

L = \frac{f}{d^{2}} = \frac{1 + \cos (γ)}{2 \cdot (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (α))} = \frac{1 + \cos (α - β)}{2 \cdot (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (α))} = \frac{1 + \cos (α - \arcsin (\frac{r_{1} \sin (α)}{\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (α)}}))}{2 \cdot (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (α))}

Aby obliczyć ekstremum, należy teraz obliczyć pochodną. Nie zamierzam się tu jednak bawić w obliczanie tak skomplikowanej pochodnej, więc przepiszę wynik z Wolfram|Alpha (podstawiając za r₁ i r₂ odpowiednio 1.082 i 1.496 - nie trzeba dawać pełnych wymiarów, ważna jest ich względna wielkość):

\frac{\partial}{\partial α} (\frac{1 + \cos (α - \arcsin (\frac{1.082 \cdot \sin (α)}{\sqrt{3.409 + 3.237 \cdot \cos (α)}}))}{6.818 + 6.474 \cdot \cos (α)}) = 0

Niestety żeby uzyskać pełny dostęp do możliwości Wolfram|Alpha trzeba chyba zapłacić, ale można ten wynik odczytać z wykresu:
α = 2.7506735 rad = 157.6°
lub
α = 3.5325103 rad = 202.4°
co sprowadza się do różnicy ze 180° = 22.4°

Wynik ten można również uzyskać wpisując w arkuszu kalkulacyjnym odpowiednie wzory i sprawdzając je dla różnych wartości α (najlepiej od razu w postaci tabelki a nie pojedynczo - można wtedy zrobić sobie wykres ).

Podsumowując: gdy kąt (mierzony tak, żeby wyszedł najmniej) między linią Słońce-Ziemia i Słońce-Wenus wyniesie 22.4° (gdy Wenus jest między Słońcem a Ziemią), wtedy Wenus jest najjaśniejsza.

Wykres jasności w zależności od kąta α (w stopniach), wykres z OpenOffice Calc.

Można jeszcze zadać 3 pytania:

Jak bardzo odległa jest wtedy Wenus od Słońca na niebie (kąt β)?
W jakiej fazie jest wtedy Wenus (f)?
Ile dni przed i po koniunkcji Słońca i Wenus planeta ta jest najjaśniejsza?

Odpowiedź 1

β = \arcsin (\frac{r_{1} \sin (α)}{\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (α)}}) = \arcsin (\frac{1.082 \cdot \sin (157.6°)}{\sqrt{{1.082}^{2} + {1.496}^{2} + 2 \cdot 1.082 \cdot 1.496 \cos (157.6°)}}) = \arcsin (\frac{0.4123}{0.6447}) = 39.756°

Odpowiedź 2

f = \frac{1 + \cos (γ)}{2} = \frac{1 + \cos (α - β)}{2} = \frac{1 + \cos (157.6° - 39.8°)}{2} = 0.266

Patrząc na wynik z Wolfram|Alpha (0.274) oraz na obrazkek z fazami Wenus można odnieść wrażenie, że fazę Wenus oblicza się troszkę inaczej. Ale jak dla mnie to i tak niezły wynik .

Odpowiedź 3

Okres obiegu Ziemi dookoła Słońca to 365.26 dnia, czyli Ziemia w ciągu 1 dnia przemieszcza się o 360°/365.26 = 0.9856°.

Okres obiegu Wenus wokół Słońca to 224.7 dnia, czyli Wenus w ciągu 1 dnia przemieszcza się o 360°/224.7 = 1.6021°.

W ciągu doby obydwie planety zmienią swoje położenie względem siebie o 0.6165°.

Czyli 22.4° pokonają w ciągu 22.4°/0.6165° ≈ 36 dni, lub około 5 tygodni. I taką właśnie odpowiedź znalazłem w internecie.

Jako że tranzyt Wenus przypada w naszej strefie czasowej w nocy z 5 na 6 czerwca, łatwo obliczyć, że Wenus najjaśniejsza będzie mniej więcej 30 kwietnia/1 maja (tak mi się wydaje - zawsze miałem z tym problemy) i taką mniej więcej odpowiedź (30 kwietnia) znalazłem dosłownie wczoraj.

Jeszcze na koniec chciałbym powiedzieć słówko o tym, kiedy znowu Wenus będzie tak ładnie widać na wieczornym niebie. Pewności nie mam, ale podobne warunki jak tej wiosny powinny się zdarzyć dopiero za 3 lata - w 2015 roku.

Uzupełnienie

Aha! Byłbym zapomniał. Jasność Wenus obliczona w ten sposób nie bierze oczywiście pod uwagę atmosfery Ziemi. Wenus była bardzo jasna mniej więcej na przełomie marca i kwietnia. Było tak dlatego, że Wenus była wtedy widoczna długo po zachodzie Słońca, gdy niebo było już ciemne (i była wysoko nad horyzontem). Teraz Wenus coraz bardziej zbliża się do Słońca i jest widoczna na niebie gdy niebo jest jeszcze jasne.

I jeszcze słówko uzupełnienia. Właśnie dowiedziałem się, że Wenus może być tak jasna, że potrafi wtedy rzucać cień.

Zastrzeżenie

Niektóre rysunki lub wzory mogą wydać się znajome. Jest tak dlatego, że są one "oczywiste" - tj. trudno wymyślić coś innego w tym rozwiązaniu. Zapewniam jednak, że wszystkie rysunki zostały wykonane przeze mnie przy pomocy programów GIMP i OpenOffice. Do wszystkich wzorów również doszedłem sam.

Wzory matematyczne zostały wyrenderowane za pomocą MathML, którego ciągle jeszcze się uczę, więc pewnie nie wszystko jest tak, jak powinno. Ale powinno dobrze wyglądać.

Artykuł ten chciałbym zadedykować mojej kotce - Sasecie. Kiedy zaczynałem go pisać (9 kwietnia), żyła jeszcze. Kiedy go kończyłem (10 kwietnia), była już pogrzebana.

Do poczytania:

Bad Astronomy: Venus rounds the corner
Earthsky tonight: Venus brightest in evening sky late April and early May
Wikipedia: Phases of Venus

Obrazki

Fazy Wenus i jej wielkość: Statis Kalyvas - VT-2004 programme link
Na licencji "Attribution": "All photos on this page may be downloaded and used, provided the photographers (authors) and the VT-2004 programme are indicated as source."
pobrane z Wikipedii.
Pozostałe - moje własne.

Arek Wittbrodt

Strony

poniedziałek, 30 kwietnia 2012

Jasność Wenus