Prawo naprawdę wielkich liczb

Prawo naprawdę wielkich liczb mówi, że jeśli ilość jakichś prób jest bardzo duża, w zasadzie należy się spodziewać dowolnie nieprawdopodobnego zdarzenia.

Jako przykład można podać tzw. prorocze sny.

Prorocze sny

Na świecie żyją miliardy ludzi. Każdej nocy wielu z nich śni, często o swoich bliskich. Jak wiadomo, ludzie umierają, czasem na skutek tragicznych wypadków. Prawdopodobieństwo tego, że ktoś wyśni śmierć kogoś bliskiego można w przybliżeniu obliczyć ze wzoru:

P=N*S*B*D

gdzie:
P - „prawdopodobieństwo” wyśnienia śmierci bliskiej osoby
N - wielkość populacji
S - część śniących osób
B - ile z tych snów jest na temat kogoś bliskiego
D - prawdopodobieństwo śmierci kogoś bliskiego

Podstawmy przykładowe dane:

N=7 miliardów, S=1/3 (bo spędzamy na spaniu 1/3 czasu), B=1/10 (z głowy, można wstawić dowolną inną liczbę).

D - można obliczyć z tzw. prawa Little'a. Zakładając, że ilość bliskich osób wynosi około 30, oraz przeciętną długość życia 65 lat, można obliczyć, że prawdopodobieństwo tego, że ktoś bliski umrze w ciągu danego dnia wynosi około 1/800.

Podstawiając, otrzymujemy P=290 tysięcy. Tyle ludzi na całym świecie może codziennie śnić „prorocze sny”. I to przy założeniu, że owe zdarzenia są od siebie niezależne - tj. że nie ma czegoś takiego, jak dar przewidywania przyszłości.

Ujmując to słowami Stanisława Lema:

Jeśli dziesięć milionów mieszkańców wielkiego miasta co nocy śni, to jest właśnie zupełnie prawdopodobne, czyli normalne, że niewielki ułamek tych milionów, np. 24 000 wyśni śmierć jakiejś bliskiej osoby. Z kolei jest też prawdopodobne, że w ciągu najbliższych tygodni komuś z tych 24 000 ludzi zemrze bliska osoba.

(dla tych danych: N*S*B=24 000, D dla okresu 2 tygodni i danych jak wcześniej wyniesie 1/14. P będzie wtedy równe ok. 1700)

Prawdziwe liczby są z pewnością niższe (choćby dlatego, że nie zawsze pamiętamy swoje sny), ale pokazują, że zdarzenia dziwne czy noszące znamiona niesamowitości, czy paranormalności, zdarzają się codziennie bardzo często - tylko dlatego, że przypadki po prostu się zdarzają.

Rzucanie monetą

Istnieje ciekawy eksperyment ilustrujący to prawo, który można przeprowadzić np. w klasie.

Najpierw jednak pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że zgadniemy wynik rzutu monetą? Pół na pół. Całkiem, całkiem - ale niezbyt dużo. A jakie jest prawdopodobieństwo zgadnięcia wyniku 5 rzutów? Niezwykle małe (chociaż jeszcze nie astronomicznie małe - ok. 3%). Musielibyśmy mieć niesamowite szczęście, żeby odgadnąć 5 rzutów pod rząd.

Zgromadźmy jednak pewną grupę ludzi (dajmy na to 32 - trochę dużo jak na klasę, ale zdarzało mi się chodzić nawet do bardziej licznych klas) i za każdym razem każmy jednej połowie „zgadnąć” orła, a drugiej reszkę. Po każdym rzucie pozwólmy zgadywać dalej tylko tym, którzy odgadnęli ten rzut prawidłowo. Po pięciu rzutach zostanie jedna osoba, która odgadła wszystkie rzuty !

Brak zjawisk nadprzyrodzonych

Zachodzenie takich zdarzeń jest jak najbardziej zgodne z brakiem paranormalnych sił. Co więcej - gdyby takie dziwne i niesamowite zdarzenia w ogóle się nie zdarzały - to by dopiero było coś dziwnego, ponieważ sugerowałoby to istnienie jakiegoś mechanizmu, który zapobiega przypadkowym zbiegom okoliczności.

Prawo to ma rzecz jasna zastosowanie nie tylko do proroczych snów. Wszelkiego rodzaju cuda, które zdarzają się przecież z naprawdę małą częstością, dają się jak najbardziej wyjaśnić przypadkową zbieżnością. O cudach z resztą chciałbym napisać osobno, ponieważ ich „istnienie” zawdzięczamy nie tylko temu prawu.

Matematyk John Littlewood obliczył nawet, że (przy pewnych założeniach) przeciętna osoba może doświadczać „cudu” kilka razy do roku . Z resztą - pomyślcie chociażby o loterii. Prawdopodobieństwo wygranej jest bardzo małe, ale przecież ktoś od czasu do czasu wygrywa.

Ludzie wyewoluowali w tzw. średnim świecie. Potrafimy wyobrazić sobie rzeczy niezbyt odbiegające wielkością od nas, czy czasem trwania od tego, co doświadczamy sami. Także jeśli chodzi o liczby, nie potrafimy wyobrazić sobie tych bardzo małych ani tych bardzo dużych (stąd wzięło się prawdziwe skądinąd powiedzenie - nie pamiętam już czyje - że jesteśmy w stanie sympatyzować z cierpiącymi jednostkami, cierpienia milionów są dla nas tylko liczbami).

Jesteśmy bardzo kiepscy w szacowaniu, czy wręcz w rozumieniu prawdopodobieństw. Dlatego mamy kasyna, które zarabiają miliardy, oraz hazardzistów, którzy tracą często oszczędności całego życia, ponieważ wydaje im się, że „rozgryźli system”. Jako przykład może służyć tzw. paradoks dnia urodzin, gdzie wydaje nam się, że wymagana ilość ludzi powinna być znacznie większa, niż w rzeczywistości.

Co więcej - jesteśmy w naturalny sposób wyuczeni (wręcz z nadmiarem) do wyszukiwania wzorców w otaczającym nas świecie - ponieważ taka umiejętność daje oczywiste korzyści.

Dlatego jeśli coś mało prawdopodobnego przytrafia nam się zupełnie przypadkowo, jesteśmy skłonni raczej przypisywać temu specjalne znaczenie, niż zrzucać winę na przypadek. Stąd wszelkiego rodzaju wiara w duchy, jasnowidzenie i inne paranormalne zjawiska. Dodatkowo wiarę w takie nadprzyrodzone rzeczy umacnia w nas tzw. efekt potwierdzenia.

Bardzo długie życie

Chciałbym na tę sprawę spojrzeć jeszcze od innej, ciekawej według mnie strony.

Wyobraźmy sobie, że żyjemy o wiele dłużej, niż obecnie - dajmy na to 10 milionów lat. Nasze życie wyglądałoby wtedy zupełnie inaczej! Wiemy np. że istnieje pewne małe, ale niezerowe prawdopodobieństwo, że zginiemy przechodząc przez ulicę. Wg. niektórych źródeł prawdopodobieństwo śmierci w wypadku samochodowym wynosi od 1/50 do 1/100. Załóżmy, że prawdopodobieństwo śmierci w czasie przechodzenia przez ulicę jest jeszcze mniejsze - 0,65% (dla zaokrąglenia obliczeń), co przy długości życia 65 lat daje nam 0,01% szansy, że w danym roku umrzemy, lub inaczej - 99,99% szansy, że w danym roku nie wpadniemy pod samochód. Jeśli żyjemy 10 tysięcy lat, to prawdopodobieństwo, że przeżyjemy spada do 37% (0,9999¹⁰⁰⁰⁰). Dla 100 tysięcy lat jest to już 4,5*10-5. Dla 10 milionów lat życia prawdopodobieństwo, że przeżyjemy nie wpadając pod samochód wynosi praktycznie zero!

Żyjąc tak długo, musielibyśmy wyrobić sobie nawyk nieprzechodzenia przez ulicę - ponieważ w tak długim okresie czasu jest właściwie pewne, że przejedzie nas samochód (a o innych zagrożeniach nawet nie wspomniałem ). No i to by było na tyle, jeśli chodzi o nieśmiertelność .

---

Do poczytania (i oglądnięcia):

• Video QualiaSoup: „It *could* just be coincidence”
• Artykuł na Wikipedii: Prawo wielkich liczb
• Artykuł na „Unnatural Acts that can improve your thinking”: law of truly large numbers
• Artykuł na „the Skeptic's Dictionary”: law of truly large numbers (coincidence)