Podwójna orbita kołowa

Począwszy od podstawówki, gdzie nauczyłem się wzoru na grawitację i jak obliczać orbitę ciała okrążającego Ziemię, zastanawiałem się nad jedną rzeczą.

Aby obliczyć orbitę jakiegoś satelity, potrzebna jest masa Ziemi - i wtedy oblicza się promień tej orbity w zależności od okresu obiegu:

$\begin{array}{c}{F}_g=F_{\mathrm{od}}\Rightarrow \frac{GMm}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\\ v=\frac{s}{t}=\frac{2\mathrm{\pi }r}{T}\end{array}\}\Rightarrow \frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{GM}$

(1)

Co notabene stanowi trzecie prawo Keplera.

Problem dla mnie pojawiał się, gdy obiekt okrążający Ziemię (lub dowolny inny obiekt) miał porównywalną z Ziemią masę. Wiemy że środek ciężkości takich układów nie leży w centrum większego ciała (w przypadku układu Ziemia-Księżyc leży on 3/4 promienia Ziemi od jej środka). Jeśli weźmiemy powyższy wzór, aby obliczyć orbitę Księżyca, to wynik będzie się rozmijał z rzeczywistymi wartościami. Jeszcze gorzej sytuacja wygląda dla układu Pluton-Charon. Jak się ma r we wzorze na siłę grawitacji F_g do r we wzorze na siłę odśrodkową F_od?

Cóż - rozwiązanie jest naprawdę bardzo proste i aż dziw mnie bierze, że dopiero teraz na to wpadłem (chociaż jako usprawiedliwienie mogę podać, że nie zajmowałem się tym problemem w ogóle, poprzestając na zdziwieniu).

Rozwiązanie mianowicie jest takie, że te dwa promienie to tak naprawdę dwie różne wielkości. Dla siły grawitacyjnej F_g jest to odległość, a nie promień. Dla siły odśrodkowej jest to promień orbity, równy odległości od środka ciężkości układu. I to wszystko.

Dwa okrążające się ciała

Pozostaje mi tylko jeszcze zapisać odpowiednie wzory.

$F_g=F_{\mathrm{od1}}=F_{\mathrm{od2}}\equiv \frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}=\frac{m_1{v}_1^2}{r_1}=\frac{m_2{v}_2^2}{r_2}\text{ , gdzie }r=r_1+r_2$

Skupiając się na równości sił odśrodkowych i pamiętając o tym, że okresy obiegu T obydwu ciał muszą być sobie równe, można dojść do wzoru:

$r_1=r\frac{m_2}{m_1+m_2}$

i analogicznie dla r₂.

Skupiając się na równości siły grawitacyjnej i dowolnej z sił odśrodkowych, można dojść do wzoru:

$\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\mathrm{\pi }}^2}{G(m_1+m_2)}$

gdzie r jest odległością obydwu ciał od siebie.

Jak widać, jeśli jedna z mas jest pomijalnie mała, otrzymujemy wzór (1), którego uczy się w szkołach. Szkoda tylko, że się nie wspomina o tym, że jest to przybliżenie i nie podaje się pełnego wzoru - może wtedy nie łamałbym sobie nad tym głowy. Ale za to czuję satysfakcję, że sam do tego doszedłem (chociaż szkoda, że dopiero teraz - no, ale lepiej późno niż wcale ).