Całka Riemanna

Całka Riemanna to bardzo intuicyjny sposób obliczania dokładnego pola pod wykresem danej funkcji. Jest bardzo prosta, więc nie zamierzam się tutaj zagłębiać w szczegóły. Każdego zainteresowanego odsyłam do Wikipedii lub do podręczników do matematyki.

Suma Riemanna polega na tym, że się bierze wykres, dzieli się dany przedział na prostokąty o wysokości wykresu w danym miejscu(*) i się sumuje pola tych prostokątów.

(*) - konkretnie - o wysokości f(x_i), gdzie x_i należy do i-tego przedziału.

Suma Riemanna jakiejś funkcji f(x). Przedział podzielony na 9 zakresów. Wykonane przeze mnie.

Pole pod funkcją będzie w przybliżeniu wynosić:

$\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)*w_i$

gdzie

• x_i - dowolny x z przedziału i
• w_i - szerokość przedziału i
• n - liczba przedziałów

Jak już wspomniałem, nie zamierzam zagłębiać się tu w żadne szczegóły, więc powiem tylko, że dla "zwykłych" funkcji dobór konkretnego x_i oraz szerokości poszczególnych przedziałów w_i (zakładając, że nie będziemy ich wybierać jakoś dziwacznie) nie ma większego znaczenia.

Skoro tak, to możemy przyjąć, że przedziały mają stałą wielkość:

$w_i=\frac{b-a}{n}$

a x_i wybierzemy sobie z dowolnego końca i-tego zakresu - np. z prawego końca:

$x_i=a+\frac{b-a}{n}i$

Wtedy wzór na sumę Riemanna możemy zapisać tak:

$\sum _{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)*\frac{b-a}{n}$

Im większe będzie n, tym węższe będą prostokąty i tym dokładniejsze będzie pole pod funkcją. Jeśli n→∞, to otrzymamy całkę Riemanna, która będzie dokładną wartością tego pola:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)*\frac{b-a}{n}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{dx}$

Jeśli przyjmiemy, że a=0 i b=1, to całość uprości nam się do:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{dx}$

i otrzymamy ładny wzór na obliczanie granicy ciągu sum szeregów - oczywiście zakładając, że potrafimy je przedstawić w postaci $\frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)$ lub podobnej (z a≠0 lub b≠1).

A dlaczego właśnie tak? Po co się tak męczyć, żeby otrzymać z szeregów całkę - nie łatwiej obliczyć granicę tego ciągu? Pewnie dla sprawnego matematyka tak - ale moje zdolności są ograniczone. Łatwiej mi obliczyć całkę - dlatego wolę to zamienić.

Poza tym będzie mi to potrzebne do pewnego obliczenia .