Grawitacja Ziemi

W poprzednim artykule liczyłem grawitację jednolitej kuli i sfery. A co jeśli dany obiekt nie jest jednolity? Jeśli składa się z różnych materiałów o różnej gęstości?

Przykładem takiego obiektu jest Ziemia, która składa się z warstw o różnym składzie chemicznym i o różnej gęstości - co więcej, gęstość każdej warstwy zmienia się w zależności od głębokości.

Warstwa	grubość (km)	promień zewnętrzny	gęstość (g/cm3)
			dolna	górna
Skorupa	30	6370	2,9	2,2
Płaszcz górny	690	6340	4,4	3,4
Płaszcz dolny	2170	5650	5,6	4,4
Jądro zewnętrzne	2260	3480	12,2	9,9
Jądro wewnętrzne	1220	1220	13,1	12,8

Struktura Ziemi. Źródło: The interior of the Earth by Eugene C. Robertson.

Zmniejszyłem grubość płaszcza górnego, ponieważ suma przekraczała średnicę Ziemi, poza tym grubość płaszcza górnego znacząco odbiegała od wartości znalezionych na Wikipedii. Pozwoliłem też sobie zaokrąglić nieco podane wartości. Nie powinno mieć to jednak większego znaczenia dla potrzeb tego artykułu.

Zanim odpowiem na to pytanie, przytoczę parę wniosków z poprzedniego artykułu:

1. Grawitację na zewnątrz kuli / sfery możemy liczyć tak jakbyśmy liczyli grawitację punktu materialnego.
2. Grawitacja wewnątrz kuli w odległości od środka równej r może być liczona jako grawitacja na powierzchni wewnętrznej części kuli o promieniu r - gdyż warstwy nad tym punktem tworzą sferę, w związku z czym nie wnoszą nic do wynikowej grawitacji.

Czyli aby obliczyć grawitację wewnątrz Ziemi w punkcie r, musimy wiedzieć ile wynosi masa wyciętej z Ziemi kuli o promieniu r.

Masę obliczymy ze wzoru:

$m=\underset{V}{\int }\rho \left(r\right)\mathrm{dV}$

Innymi słowy musimy znać funkcję gęstości w zależności od promienia. W swoich obliczeniach przyjąłem, że gęstość w każdej warstwie zmienia się liniowo, ale Dziewonski i Anderson (1981)^[1] podają bardziej skomplikowane funkcje gęstości (nie wpływa to jednak znacząco na wyniki).

Gęstość Ziemi w zależności od odległości od środka.
Wg. Dziewonski, A.M.; Anderson, D.L. (1981).

Autor: Allen McCloud, źródło: Wikipedia.

Stosując powszechnie znane wzory, można wyprowadzić z tabelki wzory na gęstość.

$\begin{array}{ccc}\rho =Ar+B\text{; }& A=\frac{{\rho }_2-{\rho }_1}{r_2-r_1}\text{; }& B={\rho }_1-\frac{{\rho }_2-{\rho }_1}{r_2-r_1}{r}_1\end{array}$

I tak, dla każdej warstwy otrzymujemy następujące wzory:

Warstwa	Gęstość ρ(r)
Skorupa	-2,333 ⋅ 10-2 r + 1,515 ⋅ 105
Płaszcz górny	-1,389 ⋅ 10-3 r + 1,225 ⋅ 104
Płaszcz dolny	-5,530 ⋅ 10-4 r + 7,524 ⋅ 103
Jądro zewnętrzne	-1,018 ⋅ 10-3 r + 1,344 ⋅ 104
Jądro wewnętrzne	-2,459 ⋅ 10-4 r + 1,310 ⋅ 104

Te wzory są nam potrzebne po to, aby obliczyć całkę. W całce pojawia się wzór na funkcję gęstości w zależności od promienia, ale całka jest po objętości - nic nie szkodzi, wystarczy za r podstawić wzór wyprowadzony z objętości kuli:

$r=\sqrt[3]{\frac{3}{4\mathrm{\pi }}}*V^{\frac{1}{3}}$

co daje nam

$\rho \left(V\right)=A*\sqrt[3]{\frac{3}{4\mathrm{\pi }}}*V^{\frac{1}{3}}+B$

Jak już wspomniałem, aby obliczyć grawitację wewnątrz kuli w punkcie r, wystarczy znać masę kuli o promieniu r i objętości V, czyli:

$m\left(r\right)=\underset{0}{\overset{V}{\int }}\rho \left(V\right)\mathrm{dV}\text{ , gdzie }V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{r}^3$

Po scałkowaniu otrzymujemy funkcję pierwotną o wzorze

${\rm P}\left(V\right)=V*(\frac{3}{4}A*\sqrt[3]{\frac{3}{4\mathrm{\pi }}}*V^{\frac{1}{3}}+B)\approx V*(\mathrm{0,465}A\cdot V^{\frac{1}{3}}+B)$

Funkcja gęstości jest nieciągła - można jednak podzielić sobie całkę na podprzedziały:

$m\left(r\right)=\underset{V_{\mathrm{1a}}}{\overset{V_{\mathrm{1b}}}{\int }}\rho \left(V\right)\mathrm{dV}+\underset{V_{\mathrm{2a}}}{\overset{V_{\mathrm{2b}}}{\int }}\rho \left(V\right)\mathrm{dV}+\mathrm{...}+\underset{V_{\mathrm{na}}}{\overset{V}{\int }}\rho \left(V\right)\mathrm{dV}$

gdzie V_ka i V_kb to granice k-tej warstwy, r zawiera się w n-tej warstwie.

Możemy zapisać ten wzór jako:

$m\left(r\right)=\sum _{k=1}^{n-1}({{\rm P}}_k\left(V_{\mathrm{kb}}\right)-{{\rm P}}_k\left(V_{\mathrm{ka}}\right))+{{\rm P}}_n\left(V\right)-{{\rm P}}_n\left(V_{\mathrm{ka}}\right))$

Gdy r nie należy do żadnej warstwy (jest poza obiektem), możemy zwyczajnie zakończyć sumowanie na Ρ_n(V_nb)-Ρ_n(V_na) (czyli sprawdzać osobny przypadek dla r>R), albo wprowadzić dodatkową warstwę o bardzo dużej górnej granicy i o zerowej gęstości. Wzór ten możemy łatwo zaimplementować w programie lub nawet w arkuszu kalkulacyjnym. Aby otrzymać przyspieszenie grawitacyjne, podstawiamy po prostu otrzymaną masę do wzoru:

$a\left(r\right)=\frac{\mathrm{G}\cdot m\left(r\right)}{r^2}$

Wyrysowując wartości dla różnych r na wykresie powinniśmy otrzymać mniej więcej coś takiego:

Grawitacja Ziemi w zależności od odległości od środka.
Wg. Dziewonski, A.M.; Anderson, D.L. (1981).

Autor: Allen McCloud, źródło: Wikipedia.

Co ciekawe, krzywa, którą otrzymałem była bardzo zbliżona do krzywej na obrazku niezależnie od tego jakiej funkcji użyłem (w pierwszej mojej próbie rozwiązania tego problemu podzieliłem każdą z warstw na krótkie podwarstwy o stałej gęstości, a teraz - tak z ciekawości - spróbowałem użyć funkcji kwadratowej, wzorując się trochę na Dziewonskim i Andersonie).

Porównanie grawitacji z liniową funkcją gęstości (zielony)
z funkcją gęstości kawałkami stałą (niebieski).

Wykonane przeze mnie w OpenOffice Calc, obrobione w GIMPie.

Jeśli zaznaczyć na wykresie granice warstw, to okaże się, że największe przyspieszenie (ok. 10,7) jest na granicy jądra i płaszcza Ziemi. Poniżej przyspieszenie grawitacyjne maleje mniej więcej liniowo. Powyżej zaś, aż do powierzchni ziemi, grawitacja jest mniej więcej stała.

---

Przypisy

[1] Dziewonski, A.M.; Anderson, D.L.. "Preliminary reference Earth model". Physics of the Earth and Planetary Interiors 25: 297–356
DOI: 10.1016/0031-9201(81)90046-7
Plik PDF do pobrania